Плотность распределения

Непрерывной называют такую случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение C, равна нулю (P (X = C) = 0), так как это есть вероятность того, что из бесконечного множества значений выпадает наперед заданное. Следовательно, значениям X в этом случае нельзя ставить в соответствии их вероятности. Закон распределения непрерывной величины Х может быть задан с помощью функции распределения:

F (x) = P (– < X < x). (50)

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют первую производную от функции распределения:

. (51)

Плотность распределения называют также дифференциальной функцией распределения. Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения

. (52)

Плотность распределения вероятностей обладает следующими свойствами:

1. . (53)

2. . (54)

3. . (55)

4. , если . (56)

График дифференцируемой функции называют кривой распределения. Дифференциальная функция существует только для непрерывных случайных величин, а интегральная как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин. Функция f (x) вероятностью не является.

Пример 2.11. Плотность распределения случайной величины X задана функцией . Найти значение параметра c.

Решение. Используя формулу (54) получим:

; ;

; .

Пример 2.12. Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина X примет значение из интервала (1;2), если плотность вероятности величины X задана следующей функцией:

Решение. .

Пример 2.13. Найти плотность распределения случайной величины X, функция распределения которой имеет вид:

Решение.

где .

Пример 2.14. Найти функцию распределения F (x), если плотность распределения случайной величины X равна:

Решение. Используя формулу (52) получим:

· при ;

· при ;

· при

.

Искомая функция распределения имеет вид: x > 2,

= 0,5 + 4 – 2 – 2 + 0,5 + 0 = 1.

.

Графики функций f (x) и F (x) отражены на рис. 2.3 и 2.4.