Способів розв’язування різних видів рівнянь та їх систем

Відповідно до діяльнісного підходу до навчання орієнтовну основу розв'язування різновидів рівнянь доцільно подати у вигляді алгоритмів.

Загальну схему розв’язування рівнянь з одним невідомим, що зводяться до лінійних, варто дати учням ще в 6 класі, коли вони ознайом­ляться з властивістю рівнянь, яка дає змогу переносити члени рівняння з однієї частини до другої. Ця схема виглядатиме так: спростити рівняння; перенести доданки, що містять невідоме, в одну частину, а доданки, що не містять невідомої, - в другу, змінивши в цьому разі знаки на протилежні; звести подібні доданки; знайти корінь рівняння. Якщо є потреба, то зробити перевірку.

Розв'язуючи в 7 класі рівняння другого степеня розкладанням лівої частини рівняння на множники за умови рівності нулю пра­вої частини рівняння, важливо чітко сформулювати теоретичну основу розв'язування таких рівнянь, а саме: добуток двох або кількох співмножників дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли принаймні один зі співмножників дорів­нює нулю.

Алгоритм розв'язування квадратних рівнянь задається форму­лою коренів квадратного рівняння.

Розв'язуючи дробові раціональні рівняння, можна запропо­нувати учням такий спосіб розв'язування: знайти спільний знаменник дробів, що входять до рівняння; помножити обидві частини рівняння на спільний знаменник; розв'язати одержане ціле рівняння; ви­ключити з його коренів ті, які перетворюють на нуль спільний знаменник.

До поняття системи лінійних рівнянь з двома невідомими уч­нів підводять в 7 класі після розгляду лінійного рівняння з двома невідомими і його графіка. Почати найкраще з розв'язування текс­тової задачі, з якої одержуються такі два рівняння. Щоб відповіс­ти на питання задачі, доведеться відшукати такі два значення не­відомих, які перетворюють на правильну числову рівність кожне з одержаних рівнянь. Означення системи не вводять, але пояс­нюють на розглянутому прикладі, що в таких випадках кажуть: одержані під час розв'язування задачі рівняння утворюють сис­тему рівнянь. Вводиться форма запису системи (фігурні дужки) і формулюється означення розв'язання системи двох рівнянь з дво­ма невідомими.

За аналогією із завданням розв'язати рівняння стверджується, що розв'язати систему рівнянь означає відшукати всі її розв'язки або довести, що розв'язків немає.

Насамперед вводиться графічний спосіб розв'язування систе­ми, щоб дати геометричне тлумачення розв'язків кожного з рів­нянь і системи рівнянь як координат точки перетину обох графі­ків. З'ясовується можлива кількість розв'язків системи двох лі­нійних рівнянь з двома невідомими залежно від розташування графіків. На наступних уроках в 7 класі розглядають два алгеб­раїчні способи розв'язування таких систем: спосіб підстановки і спосіб додавання. У 9 класі учні повертаються до вивчення сис­тем рівнянь. Тут уже розглядаються системи, в яких одне або обидва рівняння - другого степеня. Починають розв'язування таких систем теж з графічного способу, а потім розглядають спо­сіб підстановки. На заняттях математичного гуртка і в класах з поглибленим вивченням математики доцільно ознайомити учнів з іншими алгебраїчними способами розв'язування систем рівнянь окремих видів. Розглянемо деякі з таких способів.