Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.Фундаментальная система решений

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид .

Определение. Общим решением уравнения второго порядка называется такая функция , которая при любых значениях и является решением этого уравнения.

Определение. Линейным однородным уравнением второго порядка называется уравнение . Если коэффициенты и постоянны, т.е. не зависят от , то это уравнение называют уравнением с постоянными коэффициентами и записывают его так: .

Уравнение будем называть линейным неоднородным уравнением.

Определение. Уравнение , которое получается из линейного однородного уравнения заменой функции единицей, а и - соответствующими степенями , называется характеристическим уравнением.

Известно, что квадратное уравнение имеет решение, зависящее от дискриминанта : , т.е. если , то корни и - действительные различные числа. Если , то . Если же , т.е. , то будет мнимым числом, а корни и - комплексными числами. В этом случае условимся обозначать .

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Дискриминант этого квадратного уравнения , поэтому .

Покажем, как по виду корней характеристического уравнения найти общее решение однородного линейного уравнения второго порядка.

Если - действительные корни характеристического уравнения, то .

Если корни характеристического уравнения одинаковы, т.е. , то общее решение дифференциального уравнения ищут по формуле или .

Если же характеристическое уравнение имеет комплексные корни , то .

Пример 5. Найти общее решение уравнения .

Решение. Составим характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения: . Его корни , действительны и различны. Поэтому общее решение .

Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения. Теорема о структуре общего решения решений линейного однородного дифференциального уравнения. В этом разделе мы докажем, что базисом линейного пространства частных решений однородного уравнения может служить любой набор из n его линейно независимых решений.
Опр. 14.5.5.1. фундаментальной системы решений. Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n -го порядка называется любая линейно независимая система y ₁(x), y ₂(x), …, y_n (x) его n частных решений.
Теорема 14.5.5.1.1 о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения. Общее решение y (x) линейного однородного дифференциального уравнения есть линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений этого уравнения:
y (x) = C ₁ y ₁(x) + C ₂ y ₂(x) + …+ C_n y_n (x).
Док-во. Пусть y ₁(x), y ₂(x), …, y_n (x) - фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения. Требуется доказать, что любое частное решение y _чо(x) этого уравнения содержится в формуле y (x) = C ₁ y ₁(x) + C ₂ y ₂(x) + …+ C_n y_n (x) при некотором наборе постоянных C ₁, C ₂, …, C_n. Возьмём любую точку , вычислим в этой точке числа и найдём постоянные C ₁, C ₂, …, C_n как решение линейной неоднородной системы алгебраических уравнений
Такое решение существует и единственно, так как определитель этой системы равен . Рассмотрим линейную комбинацию y (x) = C ₁ y ₁(x) + C ₂ y ₂(x) + …+ C_n y_n (x) функций из фундаментальной системы решений с этими значениями постоянных C ₁, C ₂, …, C_n и сравним её с функцией y _чо(x). Функции y (x) и y _чо(x) удовлетворяют одному уравнению и одинаковым начальным условиям в точке x ₀, следовательно, по единственности решения задачи Коши, они совпадают: y _чо(x) = C ₁ y ₁(x) + C ₂ y ₂(x) + … + C_n y_n (x). Теорема доказана.
Из этой теоремы следует, что размерность линейного пространства частных решений однородного уравнения с непрерывными коэффициентами не превышает n. Осталось доказать, что эта размерность не меньше n.
Теорема 14.5.5.1.2 о существовании фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального равнения. Любое линейное однородное дифференциальное уравнение n -го порядка с непрерывными коэффициентами имеет фундаментальную систему решений, т.е. систему из n линейно независимых решений.
Док-во. Возьмём любой числовой определитель n -го порядка, не равный нулю

.	Возьмём любую точку и сформулируем для уравнения (21) n задач Коши, причём начальные условия в точке x 0 для i -ой задачи возьмём из i -го столбца этого определителя:
Ln (y 1) = 0;	Ln (y 2) = 0;		Ln (yn) = 0;

Пусть y ₁(x), y ₂(x), …, y_n (x) - решения этих задач. Эта система линейно независима на (a, b), так как её определитель Вронского в точке x ₀ равен взятому числовому определителю и отличен от нуля, следовательно, это фундаментальная система решений. Теорема доказана.

Итак, мы доказали, что размерность линейного пространства частных решений однородного уравнения с непрерывными коэффициентами равна n, и базисом в этом пространстве служит любая фундаментальная система решений. Общее решение такого уравнения равно линейной комбинации функций из фундаментальной системы решений. Остаётся вопрос - как находить фундаментальную систему решений; оказывается, что в общем случае это возможно только в случае уравнения с постоянными коэффициентами. Мы займёмся этим дальше; предварительно рассмотрим ещё ряд свойств решений однородного уравнения.