Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Основные понятия

Многие задачи математики, механики, электротехники и других технических наук приводят к линейным дифференциальным уравнениям. Уравнение вида

где b_o(x) ≠ 0, b₁(x),..., b_n(x), g(x) - заданные функции (от х), называется линейным ДУ n-го порядка.

Оно содержит искомую функцию у и все ее производные лишь в первой степени. Функции b_o(x), b₁(x),..., b_n(x) называются коэффициентами уравнения (3.11), а функция g(x) - его свободным членом.

Если свободный член g(x)=0, то уравнение (3.11) называется линейным однородным уравнением; если g(x) ≠ 0, то уравнение (3.11) называется неоднородным.

Разделив уравнение (3.11) на b_o(x) ≠ 0 и обозначив

запишем уравнение (3.11) в виде приведенного:

Далее будем рассматривать линейные ДУ вида (3.12) и считать, что коэффициенты и свободный член уравнения (3.12) являются непрерывными функциями (на некотором интервале (а;b)). При этих условиях справедлива теорема существования и единственности решения ДУ (3.12) (см. теорему. 3.1).