Анализ, упрощение и синтез переключательных схем

Чтобы изучить свойства переключательной схемы, выявить ее возможности и особенности, достаточно рассмотреть соответствующую этой схеме формулу. Так, например, схеме на рисунке соответствует формула .

Составим для этой формулы таблицу истинности. Из таблицы видно, что цепь замкнута в 5 возможных случаях из 10 возможных: когда замкнуты все три контакта, только р₁ и р₃, только р₁, только р₂ и р₃, только р₂.

Произведя равносильные преобразования,

,видим, что один из идентичных переключателей, например, р₃, лишний.

Мы провели анализ данной схемы, который выявил условия, при которых цепь замкнута, и обнаружили возможность ее упрощения, т.е. замены схемой с теми же свойствами, но с меньшим числом контактов.

Советский математик О.Б. Лупанов установил, что любую схему, соответствующую формуле с п переменными, всегда можно упростить так, что число контактов в ней не превысит .

Решим теперь такую задачу: построить цепь с тремя независимыми контактами, которая проводит ток тогда и только тогда, когда замкнуты ровно два контакта. Формула F(x, y, z), соответствующая искомой схеме, принимает значение 1тогда и только тогда, когда это значение принимают две из трех переменных x, y, z. Напишем СДНФ формулы F: . Построим схему, соответствующую этой формуле (рис.).

В задаче использован общий метод построения (синтеза) переключательной схемы по заданным ее свойствам.

Вопросы для контроля:

1. Понятие переключательной схемы.
2. Анализ переключательных схем с помощью формул алгебры высказываний.
3. Упрощение переключательных схем.