Квадратичные логические операции

Квадратичные логические операции (сокращенно «квадра-операции») могут быть нескольких типов: дважды бинарные и цепочные последовательности (четырех типов). Кратко рассмотрим их строение и методы вычисления.

Отметим, что мы всюду применяем матричные виды таблиц истинности, которые удачно раскрывают структуру этих операций. В общем случае матрица значений функции истинности для квадра – операции имеет вид

T
Z	Y X

Для каждого типичного случая таких операций матричная форма таблицы истинности конкретизируется с учётом реального вида формулы. Значения параметров операции принадлежат множеству {0;1}. Существует множество типов квадра – операций. Рассмотрим основные из них.

Дважды бинарные логические операции.

Они содержат две внутренние бинарные операции, связанные одной внешней логической операцией, поэтому выражаются формулой:

(15.1)

Каждую часть следует сначала рассмотреть отдельно как бинарную операцию, затем, также отдельно, построить внешнюю бинарную операцию, и лишь после этого соединить все результаты в одну формулу. Рассмотрим сначала первую внутреннюю бинарную операцию:

(15.2).

Для неё получаем таблицу истинности:

Y X

и формулу рабочих блоков:

(15.3)

Для взаимной к ней операции получим:

(15.4)

Аналогично строится и вторая внутренняя бинарная операция:

Для неё мы тоже запишем таблицу истинности

T Z

и формулу рабочих блоков:

. (15.5)

Для взаимной к ней операции получаем формулу:

. (15.6)

Теперь строим внешнюю бинарную операцию:

Для этой операции также строим свою таблицу истинности

N M

и формулу рабочих блоков:

(15.7).

Обозначим выражения логических блоков квадра – операции в виде матрицы Тогда для этой матрицы получаем таблицу:

j i

Таким образом, символьный массив квадра – операции можно представить

в виде

T Q
Z	Y X

Значения выражений определяются как произведения соответствующих высказываний или их отрицаний:

= , = , = , = ,

= , = , = , = , (15.8)

= , = , = , = ,

= , = , = , = .

Кроме этого вида для квадра – операций применяется структура «поля Канта»

Q

Учитывая выражения для матриц истинности внутренних операций, получим значения матрицы истинности внешней бинарной операции, которую будем структурировать аналогично с приведённым выше символьным массивом. При этом следует учитывать, что при внешнем отрицании во внутренних операциях изменяется сам вид матриц истинности. Таким образом, теперь мы находим явный вид матрицы истинности квадра – операции, как алгебраической структуры, соответствующей полю Канта (для рабочих блоков значения матрицы истинности равны 1, а для нерабочих они равны 0).

Примечание: в конкретных задачах изображение поля Канта упрощается, так как четырёхзначные шифры блоков не пишутся.

Матрица определяется через значения матриц истинности двух внутренних и одной внешней бинарных операций:

(15.9)