Частные случаи композиций бинарных операций с отрицанием

Дизъюнкция (или логическое сложение) имеет арифметический массив:

Её функция истинности характеризуется формулой (5.10).

При отрицании по первому аргументу получаем таблицу

и соответствующую формулу для функции истинности:

(11.6)

Эту формулу можно преобразовать с учетом выражений для функции истинности отрицания, тогда получим:

(11.7)

Сравнивая полученный результат с формулой (5.13), приходим к выводу, что имеет место равенство:

(11.8)

Этой формулой начинается получение многочисленных взаимосвязей между различными бинарными операциями. Все они соответствуют формулам, с помощью которых можно представить один и тот же блок в структуре четырех блоков, которые определённы для каждой из рассматриваемых операций и их композиций. Рассмотрим случай отрицания дизъюнкции по второму аргументу. В этом случае получаем арифметический массив

Здесь функция истинности принимает вид

(11.9)

Для неё получаем связь с операций импликации в виде

(11.10)

Для внутреннего отрицания дизъюнкции по обоим аргументам, находим

Здесь рабочие блоки образуют конструкт

(11.11)

Следовательно, в этом случае функция истинности имеет вид

. (11.12)

Учитывая вид арифметического массива, можно записать эту формулу в другом виде:

. (11.13)

Отсюда следует формула взаимосвязи данной операции с внешним отрицанием конъюнкции:

. (11.14)

Эта формула носит наименование 1-го закона до Моргана.

Кроме того, рассмотренная операция совпадает с рассмотренной выше операцией «штокъюнкция»

. (11.15)

Теперь перейдём к рассмотрению внешнего отрицания дизъюнкции

.

Для этой композиции находим арифметический массив:

Значит, единственный рабочий блок этой операции

,

а ее функция истинности

(11.16)

Эта операция также имеет своё наименование и обозначение. По методике И.Канта она называется «нильюнкция» и обозначается:

(11.17)

(Она читается «Х» ниль «У»). Кроме того, в технических приложениях она имеет наименование «стрелка Пирса», в честь одного из математиков, изучавших ее и нашедших ей многочисленные технические приложения.

Мы будем следовать традициям И.Канта.

Операция нильюнкции, как видно из строения ее рабочих блоков, оказывается взаимной к операции дизъюнкции, так как

. (11.18).

Эта формула носит наименование второго закона де Моргана. Её доказательство предоставляется читателям.

в) Композиция импликации с отрицанием.

Из основных операций только импликация исходно является

несимметричной логической операцией. При её отрицаниях результат может быть как симметричной, так и несимметричной функцией. Рабочие блоки импликации определяются формулой (5.12). Для этой операции матричная таблица истинности имеет следующий вид

Когда выполняется отрицание по первому аргументу, получаем

В соответствии с общим положением, у матрицы истинности происходит перестановка строк:

Значит, формула для рабочих блоков имеет вид

(11.19)

Аналогично, если выполняется отрицание по второму аргументу

получаем перестановку столбцов исходной матрицы, что приводит к получению следующих результатов.

Матрица истинности этой операции

а формула для рабочих блоков

(11.20)

Из этой таблицы получаем, что данная композиция совпадает по строению с операцией штокъюнкции (штрих Шеффера):

(11.21)

Теперь можно рассмотреть композицию двух внутренних отрицаний для импликации

Для её матрицы истинности путём перестановки строк в предыдущей таблице, получим

что приводит к формуле для рабочих блоков:

(11.22)

Сравнивая эту формулу с (6.12), приходим к выводу:

(11.23)

Эта формула носит название закона контрапозиции импликации.

Рассмотрим теперь внешнее отрицание импликации

Для неё получаем матрицу истинности

Из этой таблицы следует связь этой операции с конъюнкцией

(11.24)

Эта операция имеет также своё название «поляризация» и часто применяется в логике (особенно в теории множеств – как вычитание).

Для поляризации принято обозначение:

(11.25)

Эта формула читается: «Х» без «У», она указывает на исключение некоторых объектов из рассмотрения. По логическому смыслу поляризация является взаимной операцией для импликации.