Музыкальная система

Человеческое ухо способно воспринимать звук, частота которого заключена приблизительно в интервале от 16 до 16000 Гц. В музыке используется диапазон от 16 до примерно 5000 Гц. Даже если считать только звуки с целым значением частоты, то получиться около 5 тысяч, а ведь есть еще звуки с частотой 100,5; 3333, 14159 и т.д. Между тем, концертный рояль - инструмент с огромным звуковым диапазоном - имеет всего 87 клавиш. Более того, через каждые двенадцать клавиш повторяется их расположение и их названия. И очень высокие и очень низкие звуки носят одни и те же повторяющиеся имена: до, фа-диез, ля-бемоль. Постараемся понять, каким образом из всего многообразия звуков были отобраны именно те, к которым мы привыкли, и почему именно через каждые 12 клавиш повторяются названия нот. Для начала займемся измерениями. А где измерения, там вступает в свои права математика.

Раз уж звуки различаются по высоте, то естественно задать вопрос: "Насколько один звук выше другого?". Ответ на него не так прост, как может показаться. Первое, что приходит в голову - подсчитать разность числа колебаний, определяющих один и второй звук. Оказывается, однако, что это число не очень-то и интересно. Намного важнее не разность частот, а их отношение. Возьмем две пары звуков: первую - с частотами 64 и 96 Гц, а вторую - с частотами 512 и 768 Гц. На слух звук с частотой 96 Гц настолько же выше звука с частотой 64 Гц, насколько звук в 768 Гц выше звука в 512 Гц. При этом разность между частотами для первой пары равна 32, а для второй 256. Отношение же для каждой пары одно и то же и равно 3/2.

Расстояние между нотами, определяемое отношением их частот, называется интервалом. Некоторые, наиболее важные в музыке интервалы получили свои собственные имена. Так, отношение частот 3/2 определяет очень важный интервал квинты, еще более важен интервал октавы - его образуют две ноты с отношением частот 2. Две одинаковые по высоте ноты относятся друг к другу с коэффициентом 1 и образуют интервал примы.

Интервалы имеют направление и могут определять движение как вверх так и вниз. Переход от ноты с частотой w к ноте с частотой 2w дает октаву вверх, к ноте с частотой 3w /2 - квинту вверх, к ноте с частотой 2w /3 - квинту вниз.

Чем же важен интервал октавы? Пусть наш исходный звук - нота до первой октавы (она имеет частоту 512 Гц). Возьмем от нее октаву вверх и октаву вниз. На слух эти три звука очень похожи, практически сливаются в одно целое. Поэтому обе получившиеся ноты также называются до, только расположены они в других октавах. Таким образом, частоты любых двух одноименных нот относятся друг к другу как некоторая степень числа 2.

Только что мы встретились с важнейшей особенностью музыкально-математических исследований: результаты применения численных методов все время должны проверяться человеческим ухом. Первым, кто в построении теории музыки отдавал приоритет слуховым ощущения, был ученик Аристотеля Аристоксен. Основателем школы, ставившей во главу угла математические соотношения, был Пифагор. Его же признают создателем первой музыкальной теории.