Формула трапеций

С целью получения оценки погрешности рассмотрим формулу интегрирования методом трапеций. Для отрезка введем обозначения:

,

.

В соответствии с полученным выражением (7.12) можно записать:

,

или иначе,

. (7.14)

Теперь уменьшим шаг вдвое и вновь проведем интегрирование на том же отрезке ; в этом случае общая погрешность

. (7.15)

Вычитая формулу (7.15) из выражения (7.14), получаем:

.

Отсюда можно определить коэффициент

и подсчитать погрешности вычисления интегралов:

,

.

Следовательно, зная величины , можно получать оценки погрешностей, получаемых при вычислении интегралов.

В более общем случае (для произвольной схемы интегрирования с порядком погрешности p), можно получить следующие выражения:

,

,

.

Отсюда, оценки погрешности принимают вид

,

.

Приведенные формулы позволяют автоматизировать процесс вычисления интегралов с заданной точностью. Пусть на каждом из отрезков половинное дробление производится до тех пор, пока не выполнится условие

.

Тогда общая погрешность интегрирования

.

Таким образом, вычисления с переменным шагом позволяют проводить численное интегрирование с заданной точностью при наименьших затратах.

[1] Самарский Александр Андреевич [19.2.1919] окончил в 1945 году Московский государственный университет. С 1959 года - профессор МГУ. В 1966 году был избран членом-корреспондентом, а в 1976 - действительным членом АН СССР. С 1984 года является почетным доктором Технического университета города Карл-Маркс-Штадт. Награжден орденами Трудового Красного Знамени (1969), Октябрьской Революции (1975), Ленина (1954, 1956, 1979), Герой Социалистического Труда (1979), лауреат Ленинской премии (1962).

Здесь и далее биографические сведения соответствуют тексту книги “Математический энциклопедический словарь”. -М.: Советская Энциклопедия, 1988. - 847 с.

[2] Точным называется решение, полученное в элементарных функциях.

[3] Под приближенным понимается решение, получаемое в виде последовательности некоторых приближений (например, ряды Фурье, Тейлора и так далее).

[4] Численное решение предполагает получение таблицы значений искомой функции для конечного числа узловых значений аргументов (методы конечных и граничных элементов, сеточные и ряд других).

[5] Гаусс Карл Фридрих [30.4.1777 - 23.2.1855]. С 1795 по 1798 годы учился в Геттингенском университете. В 1799 году получил доцентуру в Брауншвейге, а с 1807 года - кафедру математики и астрономии Геттингенского университета, а также должность директора Геттингенской астрономической обсерватории. С 1802 года являлся иностранным (с 1824 - иностранным почетным) членом Петербургской академии наук.

[6] Обозначение матрицы U принято по первой букве английского слова upper - “верхний”.

[7] Обозначение матрицы L принято по первой букве английского слова lower - “нижний”.

[8] Кронекер Леопольд [7.12.1823 - 29.12.1891] - немецкий математик. С 1861 года - член Берлинской академии наук; с 1872 года стал членом-корреспондентом Петербургской академии наук. В 1883 году занял должность профессора Берлинского университета.

[9] Якоби Карл Густав Якоб [10.2.1804 - 18.2.1851] - немецкий математик. С 1830 года являлся иностранным членом-корреспондентом (с 1833 года - иностранным почетным членом) Петербургской академии наук; с 1836 года - членом Берлинской академии наук; с1846 года - членом Парижской академии наук; с 1833 года - членом Лондонского королевского общества. С 1829 по 1942 годы был профессором Кенигсбергского университета.

[10] Зейдель Филипп Людвиг [24.10.1821 - 13.8.1896] - немецкий астроном и математик. С 1851 стал членом Баварской академии наук; с 1854 - членом Геттингенской академии наук.

[11] Согласно [7], квадратичная форма определяется только для симметричных матриц.

[12] Сильвестр Джеймс Джозеф [3.9.1814 - 15.3.1897] - английский математик. Окончил Кембриджский университет в 1837 году. С 1855 по 1870 годы являлся профессором Королевской академии в Вулидже; с 1876 по 1883 год - профессором университета Джона Хопкинса в г. Балтиморе; с 1883 года - профессором Оксфордского университета. С 1872 года - иностранным членом-корреспондентом Петербургской академии наук.

[13] Чебышёв Пафнутий Львович [4.5.1821 - 26.11.1894]. В 1841 году закончил Московский университет и там же в 1846 году защитил магистерскую диссертацию. В 1847 году подготовил и защитил диссертацию на право чтения лекций и был утвержден в звании доцента Петербургского университета. В 1849 году защитил докторскую диссертацию; в 1850 году стал профессором Петербургского университета. С 1856 года являлся академиком Петербургской академии наук.

[14] Здесь и далее предполагается, что А - симметричная, положительно определенная матрица.

[15] Пьер Ферма [17.8.1601-12.1.1665] - французский математик. По профессии был юристом, с 1631 года являлся советником парламента в Тулузе. Основные научные труды изданы лишь после его смерти.

Теорема Ферма [10]: пусть функция y = f(x), непрерывная в некотором замкнутом интервале [a, b], принимает свое наименьшее (наибольшее) значение во внутренней точке x этого интервала. Если в точке x производная функции f(x) существует, то она равна нулю.

[16] Дополнительно методы решения нелинейных уравнений рассматриваются в разделе, посвященном интерполяции функций.

[17] Встречаются иные названия этого метода - метод бисекции, дихотомии.

[18]Липшиц Рудольф Отто Сигизмунд [14.5.1832 - 7.10.1903] - немецкий математик. С 1864 года является профессором Боннского университета. В 1900 году избран членом - корреспондентом Парижской академии наук.

Функция удовлетворяет условию Липшица на отрезке [a, b], если - константа, [8].

[19]Больцано Бернард [5.10.1781 - 18.12.1848] - чешский математик, философ, теолог. В 1800 году закончил философский, а в 1805 - теологический факультеты Пражского университета. В этом же университете с 1805 года возглавлял кафедру истории религии, откуда был уволен в 1820 году за вольнодумство и лишен права публичных выступлений. После этого занимался исследованием в области логики и математики.

Коши Огюстен Луи [21.8.1789 - 23.5.1857] - французский математик. В 1807 году окончил Политехническую школу, в 1810 году - Школу мостов и дорог в Париже. С 1810 по 1813 годы работал инженером в Шербурге. С 1816 года был избран членом Парижской академии наук. С 1816 по 1830 год преподавал в Политехнической школе и в Коллеж де Франс. С 1831 года стал иностранным почетным членом Петербургской академии наук. В 1848 году начал преподавать в Парижском университете.

Признак сходимости числовой последовательности Больцано-Коши [8]: для того, чтобы последовательность вещественных чисел имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы при.

[20] Лагранж Жозеф Луи [25.11.1736 - 10.4.1813] - французский математик и механик. В 1755 году стал профессором Туринской артиллерийской школы. В 1759 году был избран членом Берлинской академии наук. С 1766 года был директором Математического класса Берлинской академии наук, с 1772 года - членом Парижской академии наук, с 1776 года - иностранным почетным членом Петербургской академии наук. В 1795 году стал профессором Парижской Нормальной школы, с 1797 года - профессором Политехнической школы.

Теорема Лагранжа [10]: если функция f(x) непрерывна в замкнутом интервале и дифференцируема во всех его внутренних точках, то внутри этого интервала существует хотя бы одна точка x, для которой.

[21] Ньютон Исаак [4.1.1643 - 31.3.1727] - английский физик и математик. В 1655 году начал учебу в Грантемской школе, в 1661 году поступил в Тринити - колледж Кембриджского университета. В 1668 году ему была присвоена степень магистра. С 1669 по 1701 годы занимал почетную люкасовскую физико-математическую кафедру. С 1672 года был членом Лондонского королевского общества, президентом которого стал в 1703 году. В 1695 году получил должность смотрителя Монетного двора. В 1699 году был избран иностранным почетным членом Петербургской академии наук. В 1705 году за научные труды был возведен в дворянское звание.

[22] Тейлор Брук [18.8.1685 - 29.12.1731] - английский математик. В 1712 году был избран членом Лондонского королевского общества.

[23] Лопиталь Гийом Франсуа Антуан де [1661 - 1704] - французский математик, автор первого печатного учебника по дифференциальному исчислению.

[24] Вандермонд Александр Теофиль [28.2.1735 - 1.1.1796] - французский математик, являлся членом Парижской академии наук с 1771 года.

[25] Горнер Уильям Джордж [1786 - 22.9.1837] - английский математик.

[26] Фабер Георг [5.4.1877 - 1966] - немецкий математик, был профессором Высшей технической школы в Мюнхене с 1916 года

[27] Эрмит Шарль [24.12.1822 - 14.1.1901] - французский математик. С 1856 года являлся членом Парижской академии наук, с 1857 года - иностранным членом-корреспондентом Петербургской академии наук. С 1869 года был профессором Парижского университета. С 1873 года стал членом Лондонского королевского общества. С 1895 года избран иностранным почетным членом Петербургской академии наук.

[28] spline (англ.) - гибкая линейка.

[29] Ролль Мишель [21.4.1652 - 8.11.1719] - французский математик. С 1685 года является членом Парижской академии наук.

Теорема Ролля, [10]: если функция f(x) непрерывна в замкнутом интервале, дифференцируема во всех его внутренних точках и имеет на концах интервала равные значения, то существует хотя бы одна точка.

[30] Фурье Жан Батист Жозеф [21.3.1768 - 16.5.1830] - французский математик. Окончил военную школу в Осере, там же работал преподавателем. В 1796 - 1798 годах преподавал в Политехнической школе в Париже. В 1798 году принимал участие в Египетской экспедиции Наполеона Бонапарта. В 1802 -1815 годах был префектом департамента Изер. С 1817 года избран членом Парижской академии наук.В 1829 году стал иностранным почетным членом Петербургской академии наук.

[31] В этом случае, согласно [7], все собственные числа матрицы А вещественны.

[32] Согласно [7], собственные векторы, соответствующие попарно различным собственным значениям, линейно независимы.

[33] Симпсон Томас [20.8.1710 - 14.5.1761] - английский математик. С 1713 года был профессором Вулиджской военной академии, с 1746 года был избран членом Лондонского королевского общества.

Рассматриваемый метод интегрирования иногда называют также методом парабол.

[34] Эйлер Леонард [4.4.1707 - 7.9.1783] - математик, механик, физик. В 1720 году поступил в Базельский университет, где получил степень магистра искусств. С 1727 года работал в Петербургской академии наук. В 1741 году занял пост директора класса математики Берлинской академии наук. С 1759 года в течение ряда лет руководил этой академией. В 1766 году вернулся в Петербург, где до конца жизни подготовил около 400 научных трудов. Был избран членом Парижской академии наук и Лондонского королевского общества.

[35] Рунге Карл Давид Тольме [30.8.1856 - 3.1.1927] - немецкий физик и математик. В 1876 - 1877 годах учился в Мюнхенском, в 1878 - 1880 годах - в Берлинском университетах. Работал в Берлине, Ганновере, Геттингене.