Метод обратных итераций

Для нахождения наименьшего (по модулю) собственного значения матрицы А можно воспользоваться тем, что матрица имеет собственные значения, обратные собственным значениям исходной матрицы.

Понятно, что в этом случае итерационный процесс

(5.11)

приводит к определению модуля наибольшего собственного числа матрицы. Соответственно, является наименьшим собственным числом матрицы A.

Пример 5.6. Определить наибольшее и наименьшее собственные значения матрицы

.

Рассмотрим итерационный процесс.

Для заданной матрицы получаем систему

В качестве первого приближения выберем вектор. Результаты расчетов сведены в табл. 5.3.

Таблица 5.3

Вычисление наибольшего собственного значения

Номер итерации				l
			1,414213562
			9,486832981	6,708203932
			55,15432893	5,813776742
			332,5808173	6,030003876
			1993,810924	5,994966698
			11964,53635	6,000837995
			71785,54675	5,999860309

После нормирования получаем вектор

.

Ранее, при выполнении примера 5.1, найдены точные значения для собственного вектора

и собственного значения.

Для нахождения наименьшего собственного значения используем матрицу

.

Согласно выражению (5.11) построим итерационную процедуру

В качестве первого приближения вновь выберем вектор. Результаты расчетов сведены в таблицу 5.4.

Таблица 5.4

Вычисление наибольшего собственного значения

Номер итерации				l
			1,414213562
	-0,333333333	0,666666667	0,745355993	0,527046277
	0,444444444	-0,388888889	0,590563656	0,792324287
	-0,425925926	0,435185185	0,608932705	1,031104266
	0,429012346	-0,427469136	0,605624847	0,994567777
	-0,428497942	0,428755144	0,606169498	1,000899321
	0,428583676	-0,428540809	0,606078537	0,999849941
	-0,428569387	0,428576532	0,606093692	1,000025005
	0,428571769	-0,428570578	0,606091166	1,000020837
	-0,428571372	0,428571570	0,606091587	1,000000695

После нормирования получаем вектор

.

Значения для собственного вектора

и собственного значения также определены ранее.

Контрольные вопросы и задания

¨ Сформулируйте алгебраическую проблему собственных значений. Укажите различие между полной и частичной проблемами.

¨ Что понимается под устойчивостью собственных значений и собственных векторов? Определите понятие коэффициента перекоса.

¨ Метод интерполяции для определения собственных значений.

¨ Приближенное определение собственных векторов.

¨ Схема для вычисления определителя трехдиагональной матрицы.

¨ Метод линеаризации для поиска собственных значений и векторов.

¨ Степенной метод для определения максимального собственного значения.

¨ Метод обратных итераций для определения минимального собственного значения.