Теорема Бойяи-Гервина

Любые 2 равновеликих многоуг-ка явл-ся равносоставленными.

Измер-е S фигуры.

Способы (прямые – измеряется непосред-но сама фигура):

1. Последоват-но укладывая на фигуре какую-нибудь фигуру, S кот-й принята за ед-цу S. Способ нерациональный.

2. Измер-е при пом. палетки.

Палетка – прозрачная пластина, на кот. нанесена сеть квадратов.

Сторона квадрата принимается за 1, и чем меньше эта сторона, тем точнее можно измерить площадь фигуры.

Накладываем палетку на данную фигуру F. Квадраты, которые целиком лежат внутри фигуры F, образуют многоугольную фигуру P; квадраты, имеющие с фигурой F общие точки и целиком лежащие внутри фигуры F, образуют многоугольную фигуру Q. Площади S(P) и S(Q) находят простым подсчетом квадратов. За приближенное значение площади фигуры F принимается среднее арифметическое найденных площадей: S(F)=(S(Q)+S(P))/2.

В начальном курсе математики учащиеся измеряют площади фигур с помощью палетки таким образом: подсчитывают число квадратов, которые лежат внутри фигуры F, и число квадратов, через которые проходит контур фигуры; затем второе число делят пополам и прибавляют к первому. Полученную сумму считают площадью фигуры F.

Площадь прямоуг-ка равна произвед-ю длин соседних его сторон.

Опред-я понятия S геометрич. фигуры в нач. курсе О. матем-ке.

Примеры заданий.

25. Понятие дроби и положит-го рационал-го числа. Запись любого натур-го числа в виде дроби. Отнош-я «=», «<» («>») на мн-ве полож-ых рационал-х чисел. Различ-е способы установл-я этих отнош-й. Подходы к трактовке понятия дроби в нач/ курсе матем-ки.

Пусть даны отрезок х и единичный отрезок е, длина кот-го равна Е. Если отрезок х состоит из m отрезков, равных n -ой части отрезка е, то длина отрезка х м. б. представл-а в виде (m/n)•E, где символ (m/n) называют дробью (и читают «эм энных»).

В записи дроби m\n числа m, n – натур-е (числитель и знаменатель)

Дробь назыв-ся правильной, если ее числит. < знаменат-я, и неправильной, если ее числит-ь > знаменат-я или равен ему.

Дроби назыв-ся равными, если они выраж-т численное знач-е длины одного и того же отрезка при выбр-ой ед-це длины.

Рав-ва дробей явл-ся отнош-ем эквивалент-ти (рефлекс-но, симметрич., транзитив.).

Основное св-во дробей:

Если числит. и знаменат. дроби разделить или умножить на одно и то же число не равное 0, то получ-ся дробь равная данной.

Если числит. и знаменат. роби одновр-но делится только на ед-цу, то дробь несократимая.

Сократить дробь – значит заменить эту дробь ей равной, но с меньшим числит-м и знаменат-м.

Привести дроби к общему знаменат-ю – значит заменить дроби им равными, но с одинак-ым знаменат-м.

Положит-м рацион-м числом назыв-ся класс равных дробей, а кажд. дробь, принадл-щая этому классу, есть запись этого числа.

{1/2, 2/4, 3/6, 4/8, 12/24,…} – положит-е рац-ое число, записью кот-го явл-ся кажд. из этих дробей.

Св-ва положит-х рацион-ых чисел:

1) Бесконечное мн-во.

2) Упорядоч-е мн-ва (т.е. м. задать отношение порядка: отнош-е больше)

3) Не содержит наим-го эл-та.

4) Облад-т св-вом плотности (т.е. м-у любыми 2мя положит-ми рацион-ми числами сущ-ет бесконеч. мн-во положит-х рацион-ых чисел).

Запись люб. натур-го числа в виде дроби.

Любое натур-ое число м. записать в виде дроби.

3=3/1=9/3=6/2 => люб. натур-е число есть положит-ое рац-ное (Q⁺).

NCQ⁺

Отнош-е «<» («>»)

Сравнение Q⁺ чисел:

Пусть a и b – положит-ые рацион-е числа. Считают, что число b < числа а, если сущ-ет такое положит-е рацион-е число с, что a=b+c.

Отнош-е рав-ва:

Если положит-е рацион-е число а представл. дробью m\n, а положит-е рацион-е число b –другой дробью p\q, то a=b тогда и только тогда, когда mp=nq.

Способы установл-я этих отношений.

I. a=m/n, b=p/n => (a>b)<=>(m>p)

II. a=m/n, b=m/q => (a>b)<=>(n<q)

III. a=m/n, b=p/q => (a>b)<=>(mq>np)

Подходы к трактовке понятия дроби в нач. курсе матем-ки.