ТЕМА 4. Финансовые ренты

4.1 Наращенная сумма финансовых рент

4.1.1 Ренты с начислением процентов в конце года

Пусть в течение n лет в банк в конце каждого года вносится по R грн. На взносы начисляются сложные проценты по ставке i % годовых. Таким образом, имеется рента член которой равен R, а срок n. Все члены ренты, кроме последнего, приносят проценты. На последний взнос проценты не начисляются. Члены ренты с начисленными к концу срока процентами образуют ряд

R, R(1+i)¹, R(1+i)²,…,R(1+i)^n-1.

Данный ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем (1+i)¹, первым членом прогрессии R и числом членов прогрессии n.

Сумма членов геометрической прогрессии (S) определяется по формуле

, (4.1)

где b₁ - первый член геометрической прогрессии;

q - знаменатель прогрессии;

n - число членов прогрессии.

Наращенная к концу срока сумма ренты постнумерандо определяется путем подстановки в формулу (4.1) исходных данных, полученных по построенному ряду (см.выше). Таким образом, искомая величина наращенной к концу срока суммы (S) годовой ренты постнумерандо будет равна

(4.2)

где R - элемент (член) годовой ренты, д.ед.;

i - годовая процентная ставка, %;

n - продолжительность (срок) ренты, лет;

S_n,i - коэффициент наращения годовой ренты, определяемый по специальным таблицам.

Пусть рента выплачивается p раз в году равными суммами, процент начисляется один раз в конце года. Если годовая сумма платежей равна R, то каждый раз выплачивается R/p. Члены ренты с начисленными к концу срока процентами образуют ряд

.

Данный ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем (1+i)^1/p, первым членом прогрессии R/p и числом членов прогрессии np.

Расчет наращенной суммы (S) p-срочной ренты производится по формуле

где R/p - элемент (член) p-срочной ренты, д.ед.;

p - количество платежей за год;

S_n,i, S_1/p,i- соответственно коэффициент наращения годовой и p-срочной ренты, определяемые по таблицам.

Пусть рента выплачивается каждые r лет годовыми платежами R в течение срока n, процент начисляется один раз в конце года. Члены ренты с начисленными к концу срока процентами образуют ряд

.

Данный ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем (1+i)^r, первым членом прогрессии R и числом членов прогрессии n/r.

Расчет наращенной суммы (S) финансовой ренты с периодом больше года (дискретная или r-срочная рента) проводится с использованием формулы

, (4.4)

где R - элемент (член) r-срочной ренты, д.ед.;

r - периодичность осуществления платежей, r 1;

S_n,i, S_r,i - соответственно коэффициенты наращения годовой и r-срочной ренты, определяемые по таблицам.

4.1.2 Ренты с начислением процентов mраз в год (по ставке j/m)

Расчет наращенной суммы (S) годовой финансовой ренты

, (4.5)

где j - номинальная годовая процентная ставка, %;

m - период капитализации процентов.

Расчет наращенной суммы (S) p-срочной ренты:

. (4.6)

На практике часто встречаются случаи, когда число выплат в году равно числу начисленных процентов, т.е. когда p=m. Для получения необходимой формулы воспользуемся формулой (4.2), в которой i заменяется на j/m, а вместо числа лет берется число периодов выплат ренты np, член ренты равен R/p. Так как p=m, то в итоге получим формулу наращенной суммы (S)

. (4.7)

Расчет наращенной суммы (S) финансовой ренты с периодом больше года (r-срочная рента)

. (4.8)

4.1.3 Ренты с непрерывным начислением процентов

Расчет наращенной суммы (S) годовой финансовой ренты производится по формуле

, (4.9)

где е - основание логарифма, е = 2,718;

- сила роста, %.

Расчет наращенной суммы (S) p-срочной ренты производится по формуле

. (4.10)

Расчет наращенной суммы финансовой ренты с периодом больше года производится с использованием формулы

. (4.11)

4.2 Современная стоимость финансовых рент

4.2.1 Ренты с начислением процентов в конце года.

Пусть член годовой ренты равен R, срок ренты n. На взносы начисляются сложные проценты по ставке i % годовых. В этих условиях дисконтированная величина первого платежа равна R(1+i)^-1, второго - R(1+i)^-2, последнего - R(1+i)^-n. Таким образом, эти величины образуют следующий ряд

R(1+i)^-1, R(1+i)^-2,…, R(1+i)^-n.

Данный ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем (1+i)^-1, первым членом прогрессии R и числом членов прогрессии n. Подставляя эти данные в формулу (4.1), находим современную стоимость (Р) годовой финансовой ренты

, (4.12)

где а_n,i - коэффициент приведения годовой ренты, определяемый по таблицам.

Если платежи производятся не один, а p раз в году, то размер платежа равен R/p. Члены ренты образуют ряд

.

Данный ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем (1+i)^-1/p, первым членом прогрессии и числом членов прогрессии np. Подставив данные в формулу (4.1) получаем сумму дисконтированных платежей или современную стоимость (Р) p-срочной ренты

Пусть рента выплачивается каждые r лет годовыми платежами R в течение срока n, процент начисляется один раз в конце года. Дисконтированные члены ренты образуют ряд

.

Данный ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем (1+i)^-r, первым членом прогрессии R и числом членов прогрессии n/r.

Современная стоимость (Р) финансовой ренты с периодом больше года (r-срочная рента) определяется по формуле

. (4.14)

4.2.2 Ренты с начислением процентов m раз в год

Расчет современной суммы годовой финансовой ренты производится по формуле

. (4.15)

Расчет современной суммы p-срочной ренты производится по формуле

Частный случай p-срочной ренты при p=m, т.е. число членов ренты равно числу начислений процентов. Величина члена ренты составляет R/m. Современная стоимость (Р) в таком случае определяется по формуле

(4.17)

Расчет современной суммы (Р) финансовой ренты с периодом больше года

. (4.18)

4.2.3 Ренты с непрерывным начислением процентов

Расчет современной суммы (Р) годовой финансовой ренты производится по формуле

Расчет современной суммы (Р) p-срочной ренты производится по формуле

. (4.20)

Расчет современной суммы (Р) финансовой ренты с периодом больше года

. (4.21)

4.2.4 Вечная рента

Расчет современной стоимости р–срочной ренты с начислением процентов в конце года по ставке сложных процентов, равной i.