Случайных величин

Задание 1. Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение, если задана непрерывная случайная величина интегральной функцией распределения:

Найдем дифференциальную функцию распределения:

Математическое ожидание X и X²:

Тогда:

Ответ: D(X) = ,

Задание 2. Случайная величина X распределена но нор­мальному закону. Математическое ожидание и среднее квад­ратическое отклонение этой случайной величины соответствен­но равны 2 и 5. Найти вероятность того, что случайная вели­чина в результате испытания примет значение, принадлежа­щее интервалу (1;5).

Решение. Вероятность того, что случайная величина X, имеющая нормальное распределение, примет одно из своихвозможных значений в интервале (α;β), вычисляется по фор ­ муле

P (α< x <β)= Ф - Ф

Здесь a=М(х), σ = , Ф (x) = dt

функция Лапласа.

По условию задачи α=1, β =5, a =2, σ=5. Следователь­но,

Р (1<Х<5)=Ф — Ф =Ф(0,6) —Ф(—0,2).

Так как функция Лапласа нечетна, то

Ф(—0,2)=—Ф(0,2).

Таким образом,

P (1<Х<5)=Ф(0,6)+ Ф(0,2).

По табл. 2 приложения находим

Ф (0,6) =0,2257, Ф (0,2) =0,0793.

Искомая вероятность равна

Р(1<Х<5)=0,2257+0,0793=0,305.

Ответ: 0,305

Задание3. Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение. Ее , . Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в интервале (30;36).

Решение: Воспользуемся формулой

, где

Ответ: 0,1586

Задание 2. Случайные значения веса зерна распределе­ны нормально. Математическое ожидание веса зерна равно 0,15 г, среднее квадратическое отклонение равно 0,03. Найти вероятность того, что вес наугад взятого зерна отклонится от математического ожидания не более, чем на 0,06г.

Решение. Вероятность того, что отклонение случайной величины X, имеющей нормальное распределение, от ее ма­тематического ожидания a по абсолютной величине, не будет превосходить заданного положительного числа ɛ, определяет­ся по формуле

Р(│ Х— a│≤ e)=2Ф

По условию задачи a =0,15; σ = 0,03; e =0,06.

Следовательно,

P (│x-0,15│≤0,06) = 2Ф = 2Ф(2).

По табл. 2 приложения находим Ф(2)=0,4772. Искомая вероятность равна

Р(│Х—0,15│ ≤0,06) = 2 · 0,4772=0,9544.

Ответ: 0,9544

Тема:Функции распеределения

Задание 1. Задана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины Х. Требуется:

1) найти плотность распределения вероятностей f(x)

2) определить коэффициент А

3) схематично построить графики F(x) и f(x)

4) найти математическое ожидание и дисперсию Х

5) найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (a, b)

Решение:

1. Используем свойство . Получаем:

2. Используем свойство

3. Ниже показаны графики функции распределения и плотности распределения.

f(x)

F(x)

4. Математическое ожидание:

Дисперсия:

5. Вероятность того, что Х примет значение из интервала (0, 3)

Задача2. Производится некоторый опыт, в котором случайное событие А может появиться с вероятностью р = 0,6. Опыт повторяют в неизменных условиях п раз. Сколько раз надо провести этот опыт, чтобы с вероятностью большей, чем 0,9 можно было ожидать отклонения относительной частоты появления события А от вероятности р = 0,6 не более, чем 0,05?

Решение: Поскольку условия опыта неизменны, то применяется схема независимых испытаний Бернулли.

Используется формула:

В этой формуле:

e = 0,05 – заданная величина отклонения относительной частоты от вероятности.

p = 0,6 – вероятность появления события А в одном опыте.

q = 1 – p = 0,4 – вероятность непоявления события А в одном опыте.

P₁ = 0,9 – граница заданной вероятности появления А в п опытах.

аргумент функции Лапласа для значения

Получаем:

Ответ: для выполнения условий задачи опыт требуется выполнить 258 раз.

Задача 3. Найти интегральную функцию распределения случайной величины Х, заданной рядом распределения:

Х
Р	0,3	0,2	0,5

и построить ее график.
Решение. Пусть х ≤ 1, тогда F(x) = 0, так как событие Х < х будет невозможным

. Если 1 < х ≤ 2, то на основании равенства ()

имеем F(x) = p ₁ = 0,3.

Если 2 < х ≤ 3, то имеем F(x) = p ₁ + p ₂ = 0,5.

Если х > 3, то F(x) = p ₁ + p ₂ + p ₃ = 1.

Окончательно получаем

График функции F(х) изображен на рис..

Рис.

Задача4 Функция распределения случайной величины Х задана выражением

Найти: 1)коэффициент α;

2)вероятность попадания значения случайной величины Х в результате опыта в интервал (π/4; 3π/4);

3) построить график функции.

Решение. 1)При х =3 π/4 функция F (x) равна 1, т.е. α∙ sin (3π/4–π/4)+1/2=1, или α∙si n(π/2) + 1/2 = 1.

Откуда α = 1/2.
2)Подставляя а = π/4 и b = 3π/4 в равенство (P(a ≤ X ≤ b) = .), получаем
π (π/4 < X <3π/4) = F(3π/4) - F(π/4) = 1/2 × sin(π/2)+1/2–1/2 × sin 0 – 1/2 = 1/2.

3)График функции у =1/2∙sin(х -π/4)+1/2 отличается от графика функции у = sin х тем, что он «сжат» по оси О у в два раза, сдвинут вправо на π/4, поднят вверх на 1/2. Воспользовавшись этим замечанием, отразим график F(x) на рисунке:

Рис.

Задача 5 У яровой пшеницы сорта Саратовская 29 длина главного колоса в сантиметрах представляет собой случайную величину Х, подчиняющуюся закону распределения, который характеризуется дифференциальной функцией распределения

Найти интервал,в который попадут практически все возможные значения длины главного колоса пшеницы этого сорта.

Решение: Случайная величина Х-длина главного колоса пшеницы сорта Саратовская распределена по нормальному закону с параметрами

и Согласно правилу трех сигм получим, что практически все возможные значения Х будут находится в интервале(6,6 3,6)см,т.е.главный колос пшеницы может иметь длину от 3 до 10,2см.

Ответ: от 3 до 10,2см.

Тема: Элементы статистической обработки данных

Задача1. Для определения средней живой массы трехмесячного теленка определенной породы были взвешены 100 животных и результаты сведены в таблицу

Масса, кг	23-25	25-27	27-29	29-31	31-33	33-35	35-37
Число телят, гол

Найти:

1. Величины, которые следует принять за среднюю массу и среднее квадратическое отклонение.

2. Ошибку средней и коэффициент вариаций.

3. Доверительный интервал, в котором с вероятностью 0,95 заключена средняя масса.

Решение:

1. В качестве приближенного значения средней массы принимаем выборочную среднюю, а за значение признака – середины интервалов

Вычисляем выборочную исправленную дисперсию

Находим исправленное выборочное среднее квадратичное отклонение

2. Ошибка средней равна

Коэффициент вариации

показывает, что изменчивость признака средняя.

3. Поскольку n = 100 > 30 и у нас случай нормального распределения, то доверительный интервал находим по формуле

Из условия 2Φ(t_γ) = 0,95 определяем Φ(t_γ) = 0,475,

а по таблице приложений находим t_γ = 1,96.

Поэтому

или 31,32 < x < 32,68 кг – доверительный интервал для заданной вероятности.

Задача 2. Из предварительных оценок известны значения

а)оценить объем необходимой выборки, чтобы точность оценки равнялась

б)оценить объем необходимой выборки, чтобы точность оценки равнялась

Решение.

а)Известно,что По условию значение t найдем по приложению 2:

Тогда

Следовательно, для заданной доверительной вероятности и точности оценки объем выборки должен составлять не менее 1112.

б)Дано По приложению 4 руководства В.Е.Гмурмана находим значения близкие к 0,10, их два:

и

Следовательно

Ответ:1112;

Задача 3. При использовании определенных методов лечения среди 100 больных было 25 выздоровевших.Определить пределы, в которых с заданной довернительной вероятностью лежит вероятность выздоровления

Решение: Известно, что

найдем по приложению 3 руководства В.Е. Гмурмана:

Или

Ответ:

Тема:ПОНЯТИЕ О КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ЗАВИСИМОСТИ

Задание 1. Вычислить коэффициент корреляции, определить направление и силу связи между количеством кальция в воде и жесткостью воды, если известны следующие данные (табл. 1). Оценить достоверность связи. Сделать вывод.

Таблица 1

Жесткость воды (в градусах)	Количество кальция в воде (в мг/л)
4 8 11 27 34 37	28 56 77 191 241 262

Обоснование выбора метода. Для решения задачи выбран метод квадратов (Пирсона), т.к. каждый из признаков (жесткость воды и количество кальция) имеет числовое выражение; нет открытых вариант.

Решение:
Последовательность расчетов изложена в тексте, результаты представлены в таблице. Построив ряды из парных сопоставляемых признаков, обозначить их через х (жесткость воды в градусах) и через у (количество кальция в воде в мг/л).

Жесткость воды (в градусах) X1	Количество кальция в воде (в мг/л) Y1	dх	dу	dх х dу (х1- )(у 1— )	dx2 (х1— )2	dy2 (у 1— )2
4 8 11 27 34 37	28 56 77 191 241 262	-16 -12 -9 +7 +14 +16	-114 -86 -66 +48 +98 +120	1824 1032 594 336 1372 1920	256 144 81 49 196 256	12996 7396 4356 2304 9604 14400
Мх=Σ х / n	Му=Σ у / n		Σ dх x dу=7078	Σ dх2=982	Σ dy2=51056
=120/6=20	=852/6=142

1. Определить средние величины M_x ряду вариант "х₁" и М_у в ряду вариант "у₁" по формулам:
М_х = Σх/n (графа 1) и
М_у = Σу/n (графа 2)

2. Найти отклонение (d_х и d_у) каждой варианты от величины вычисленной средней в ряду "x" и в ряду "у"
d_х = х — М_х (графа 3) и d_y = у — М_у (графа4).

3. Найти произведение отклонений d_x х d_y и суммировать их: Σ d_х х d_у (графа 5)

4. Каждое отклонение d_x и d_у возвести в квадрат и суммировать их значения по ряду "х" и по ряду "у": Σ d_x² = 982 (графа 6) и Σ d_y² = 51056 (графа 7).

5. Определить произведение Σ d_x² х Σ d_y² и из этого произведения извлечь квадратный корень

6. Полученные величины Σ (d_x x d_y) и √(Σd_x² x Σd_y²) подставляем в формулу расчета коэффициента корреляции:

7. Определить достоверность коэффициента корреляции:
1-й способ. Найти ошибку коэффициента корреляции (mr_xy) и критерий t по формулам:

Критерий t = 14,1, что соответствует вероятности безошибочного прогноза р > 99,9%.

2-й способ. Достоверность коэффициента корреляции оценивается по таблице "Стандартные коэффициенты корреляции" (см. приложение 1). При числе степеней свободы (n — 2)=6 - 2=4, наш расчетный коэффициент корреляции r_xу = + 0,99 больше табличного (r_табл = + 0,917 при р = 99%).

Вывод. Чем больше кальция в воде, тем она более жесткая (связь прямая, сильная и достоверная: r_ху = + 0,99, р > 99,9%).

Задание1. Вычислить выборочный коэффициент кор­реляции двух случайных величин х и у и найти выборочное уравнение прямой регрессии у на х по данным таблицы:

х
у

Решение. Вычислим выборочный коэффициент корреляции по формуле:

r = (1)

Для вычисления величин, входящих в формулу, составим вспомогательную таблицу. П этой таблице результаты наблю­дений х₁ и у ₁ записаны столбцами. Внизу каждого столбца вычислены суммы для расчета средних и . Правее распо­ложены столбцы, в которых вычислены разности х₁— н у ₁— , их квадраты и произведения. Соответственно суммируют­ся значения столбцов, чтобы получить величины для подста­новки в формулу (1).Среднее = = 22; = = 26.

х1	у 1	х1—	(х1— )2	у 1—	(у 1— )2	(х1— )(у 1— )
		-2 -3 -4 -1		-6 -6 -6 -1 -1 -1		-1

Из таблицы имеем

Σ (х₁ — ) (у ₁— ) = 105, Σ (х₁— )²= 54, Σ (у ₁— )² = 240.

Подставляя эти значения в формулу (I), получим

r= ≈ 0,92.

Выборочное уравнение прямой регрессии у на х имеет вид

𝑦- = r (2)

За приближенные значения величин σ_х и σ_у принимают соот­ветственно

= = ≈ 2,11.

Подставляя в формулу (2) =22; = 26; r=0,92;

= 2,11, получим

у—26=0,92 · 2,11(х—22)

или у = 1,94х —16,68 - это и есть искомое выборочное урав­нение прямой регрессии у на х.

Вопросы для самопроверки

Основные понятия теории вероятностей.