Разбор типовых задач

Тема: Формула вероятности события

Задание № 1. В конверте 9 фотокарточек. Среди них 5 нужных. Наугад извлечены 4 карточки. Найти вероятность того, что среди них только 2 нужные.

Введем в рассмотрение событие А – среди 4 извлеченных карточек только две нужные.

Вероятность этого события вычисляется по формуле вероятности

P(A)= (1)

Где - число всех равновозможных исходов события, а - число исходов, благоприятствующих появлению события А.

Для нахождения и необходимо вспомнить такое понятие из теории соединений, как «Сочетания».

Определение: пусть имеется п элементов. Сочетанием называются наборы (соединения), составленные из этих элементов по m элементов в каждом наборе, которые отличаются хотя бы одним из элементов (0 )

Число всех возможных сочетаний обозначается и вычисляется согласно формулам:

(2), или (3), где в числителе m сомножителей.

m!= (эм-факториал)

n!= ,)n-m)!=1 (n-m)

в частности,

кроме того,

эта формула полезна в случае использования формулы (3), когда < m.

В нашем задании число всех возможных исходов «п» равно числу способов извлечь из 9 карточек 4, т.е.

Число способов извлечь из 5-ти нужных только две нужные есть .

Число способов извлечь из четырех ненужных (9-5) только 2 ненужных (4-2) есть .

Тогда число благоприятствующих исходов есть произведение .

Подставляем и в (1):

P(A)= .

для получения точного ответа дробь нужно сократить, после чего

Ответ: .

При решении подобных задач удобно пользоваться таблицей:

	Всего предметов	Стандартные предметы	Нестандартные предметы
было	N	n	N-n
Отобрано	m	к	m-k

Тогда P(A)= (4)

Полезно помнить правило: числа N и m из 1-го столбца составляют индексы в знаменателе дроби (4), а числа из 2-го и 3-го столбцов – в числителе, причем числа из 1-ой строки стоят везде в нижних индексах чисел сочетаний, а числа из 2-ой строки – в верхних.

Задание № 2. В конверте 12 денежных купюр. Среди них 4 фальшивых. Наугад извлечены 4 купюры. Какова вероятность того, что все они фальшивые?

Введем в рассмотрение событие А – все 4 извлеченные купюры фальшивые. Вероятность этого события вычислим по формуле (4) из задания №1.

Предварительно составим таблицу данных:

	Всего купюр	Фальшивые	Нефальшивые
Было
Извлечено

Тогда согласно правилу из задания №1 (вариант №1)

Ответ:

Тема: ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ

Задание № 1. В урну, содержащую 4 шара, опущено 2 белых шара, после чего из нее на удачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

Задание может быть решено с помощью формулы полной вероятности:

P(A)=

Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий , образующих полную группу событий, равна сумме произведений вероятностей каждого их этих событий на соответствующую условную вероятность события А.

В нашем задании событие А – извлечен белый шар;

событие (предположение) - первоначально в урне не было белых

шаров;

событие - первоначально в урне был один белый шар;

событие - первоначально в урне было два белых шара;

событие - первоначально в урне было 3 белых шара;

событие - первоначально в урне все 4 шара были белые.

Найдем вначале вероятность Р(В i), i = 1,…,5. Т.к. события В 1, В 2, В 3, В 4, В 5 равновозможны, несовместны и образуют полную группу, то

Р(В 1) = Р(В 2) = Р(В 3)= Р(В 4) = Р(В 5)

Р(В 1) + Р(В 2) + Р(В 3) + Р(В 4) + Р(В 5) = 1

Пусть Р(В i) = Х. Тогда 5х = 1 х = , т.е. Р(В i) = , I = 1,…,5

Для того, чтобы воспользоваться формулой полной вероятности, необходимо найти условия вероятности события А.

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар при наступлении события В 1, есть Р В1(А) = , так как перед извлечением шара число всех шаров урне (число всех исходов) равно 6, а число белых шаров (число благоприятствующих исходов) равно 2. Аналогично Р В2(А) = , Р В3(А) = , Р В4(А) = , Р В5 (А) = .

Согласно формуле полной вероятности

Р(А) = = =

Ответ: Р(А) = 0,67 = 67%.

Задание № 2. В лототрон, содержащий 3 лотерейных билета, добавили пять невыигрышных, после чего извлекли произвольным образом один билет. Какова вероятность того, что он выигрышный?

В нашем задании А – извлеченный выигрышный билет.

Решаем задачу, как и в задании №1 (вариант№1), с помощью формулы полной вероятности.

Запишем полную группу несовместных событий (предположений), при наступлении которых появляется событие А:

событие В₁ – первоначально в барабане выигрышных билетов не было;

событие В₂ – первоначально в барабане был один выигрышный билет;

событие В₃ - первоначально в барабане было два выигрышных билета;

событие В₄ – первоначально в барабане все три билета были выигрышные.

Найдем вероятности Р(В _i), i = 1,2…,4, для чего выпишем систему уравнений, аналогичную систему в задании №1:

Пусть Р(В₁) = х. Тогда 4х = 1, откуда т.е. Р(В _i) = , i =1,...,4.

Вычислим условные вероятности события А:

т.к. перед извлечением билета в предположении В₁ число всех билетов(исходов) равно 8, а выигрышных билетов нет. Аналогично:

Согласно формуле полной вероятности:

Ответ:

Нужно заметить, что данный пример можно решить с помощью понятия "противоположные события".

Событие, противоположное событию А, есть - извлеченный шар невыигрышный. Если вероятность Р() найдена, то Р(А) = 1- Р().

Тема: ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ

Задание 1. Вероятность рождения бычка при отеле коровы равна 0,5. Найти вероятность того, что от пяти коров будет: 1) ровно три бычка; 2) не менее трех бычков; 3) не более одного бычка.

Решение. Воспользуемся формулой Бернулли. Если про­изводится п независимых испытаний, при каждом из которых вероятность наступления события постоянна и равна р, а вероятность противоположного события А равна q=1— р, то вероятность Рn(m) того, что при этом событие А наступит ровно m раз, вычисляется но формуле:

Р_n(m)= · p^mq^n-m,

где n!= 1·2·3... n, причем 0!—1.

1) По условию задачи p =0,5, тогда q = 0,5; в данном случае n= 5 ,m= 3. Подставляя эти данные в формулу Бернулли, по­лучим

P₅ (3)= (0,5)³(0,5)²= ·0,03125=0,3125

2) Искомое событие А состоит в том, что от пяти коров будет или три, или четыре, или пять бычков. На основании теоремы сложения вероятностей несовместимых событий

Р(А) = Р ₅(3)+ Р5 (4)+Р₅(5).

Вероятность Р₅ (3) уже найдена в пункте 1. Вероятности Р₅ (4) и Р₅ (5) определяются по формуле Бернулли:

P ₅(4)= (0,5)⁴(0,5)¹= ·0,03125 0,1563

P ₅(4)= (0,5)⁵(0,5)⁰ 0,0313

Искомая вероятность

Р(А)≈ 0,3125+0,1563+0,0313=0,5001.

3) Искомое событие А состоит в том, что от пяти коров будут или один бычок, или ни одного. На основании теоремы сложения вероятностей несовместимых событии

Р(А) = Р₅ (0)+ Р₅ (1).

Вероятности Р₅ (0) и Р₅ (1) определяются по формуле Бернул­ли:

P₅(0)= (0,5)⁰(0,5)⁵=(0,5)=(0,5)⁵ 0,0313,

P₅(1)= (0,5)¹(0,5)⁴=(0,5)=0,1563.

Следовательно,

Р(А)≈0,0313+0,1563 = 0,1876.

Ответ: 0,1876

Задание 2. В совхозе имеется 150 свиноматок. Вероят­ность получения от любой из них не менее десяти поросят за одну лактацию равна 0,6. Найти вероятность того, что за од­ну лактацию из указанных 150 свиноматок не менее десяти поросят даст каждая из 102 свиноматок.

Решение. При большом числе испытаний формула Бер­нулли приводит к громоздким вычислениям. В таких случаях применяют приближенную формулу, которая выражает ло­кальную теорему Лапласа.

Если вероятность наступления события А в каждом из п независимых испытаний постоянна и равна р (р≠0, р≠1), а число п достаточно велико, то вероятность Рn(m) того, что в этих испытаниях событие А наступит ровно mраз, вычисля­ется приближенно по формуле

P_n(m) ·φ(x),

где X = , φ(x)= ·

Имеются готовые таблицы значений функции φ(х) (см. табл. 1 приложения). Для значений х>5 считают φ(х)≈ 0. Если х<0, то φ (—х)= φ(х), так как эта функция четная.

По условию задачи n =150; m =102; р =0,6; q =0,4. По приведенной выше формуле вычислим значение х, определяе­мое данными задачи:

Х= = =2

По таблице значений функции φ(х) находим φ(2)=0,0540. Тогда искомая вероятность приближенно, равна

Р₁₅₀ (102) ≈ 1 * 0,054 = 0,009.

Ответ: 0,009.

Задание 3. Птицеферма отправила на базу 10000 яиц. Вероятность того, что каждое яйцо повредится в пути, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базе в отправленной партии яиц окажется три поврежденных яйца.

Решение. По условию задачи n =10000; m =3; р =0,0002. Здесь п — велико, р—мало. В таких случаях при­меняют асимптотическую формулу Пуассона.

Если вероятность наступления события А в каждом из п независимых испытаний мала, а число испытаний п достаточ­но велико, то вероятность того, что событие А наступит ровно m раз, вычисляется приближенно по формуле

P_n (m)≈ , где λ= пр, e =2,7.

Применяют эту формулу в тех случаях, когда λ = пр ≤ 10 При этом, чем больше число п и меньше число р, тем точнее результат по формуле Пуассона. В нашем случае λ = пр= 10000 · 0,0002=2. Тогда

P₁₀₀₀₀ (3) ≈ = ≈ 0,18.

Ответ: 0,18.

Задание 4. Вероятность того, что семя не взойдет, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди случайно отобранных 400 семян невсхожих окажется от 70 до 100 семян.

Решение. Для вычисления вероятности того, что при достаточно большом числе испытаний событие наступит не менее m₁ раз и не более m₂ раз, используют интегральную теорему Лапласа.

Если вероятность р наступлении события А в каждом ис­пытании постоянна (р≠0, р≠1), то вероятность P_n(m₁ ≤m≤ m₂) того, что событие А появится в п испытаниях от m₁ до m₂ раз, вычисляется по приближенной формуле

P_n (m₁≤m≤m₂) ≈ Ф - Ф ,

где значения функции Лапласа Ф(x) = dt

находятся по табл. 2 приложения для любого значения х. При этом следует иметь в виду, что функция Ф(х) нечетная, т.е. Ф(—х) = —Ф(х) и что для х >5 можно принять Ф(х)=0,5.

По условию задачи n =400; m₁ =70; m₂=100; р —0,2; q =0,8.

Находим

X₁= = = -1,25,

X₂= = = 2,5.

Искомая вероятность

Р400 (70≤m≤100)≈ Ф(x₂) — Ф(x₁)= Ф(2,5) — Ф(—1,25)= Ф(2,5)+ Ф(1,25)

Из табл. 2 приложения находим

Ф(2,5) =0,4938, Ф(1,25) =0,3944.

Тогда

Р400 (70≤ m ≤ 100) ≈ 0,4938 + 0,3944 = 0.8882.

Ответ: 0.8882.

Задача 5. Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом метре воздуха равна 100.Берут на пробу 2дм³воздуха. Найти вероятность того, что в пробе будет обнаружен хотя бы один микроб.

Решение: Пусть случайная величина Х-число болезнетворных микробов,находящихся в 2 дм³воздуха.Применим гипотезу о пуассоновском распределении числа микробов, которые могут быть обнаружены в этом объеме. Математическое ожидание Х равно Вероятность того что в данном объеме будет обнаружен хотя бы один микроб, равна

Ответ:0,181.

Тема:СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА И ЕЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ