Решение неоднородного уравнения. получено частное решение (9.16)

Для уравнения (9.3)

получено частное решение (9.16)

.

Производные коэффициентов удовлетворяют (9.19)

,

.

Для нахождения и проинтегрируем (9.19) и устраним произвол выбора постоянных интегрирования путем наложения граничных условий на концы интервала определения (A, B) аргумента x. В результате решения , и зависят от граничных условий. Рассмотрим частные случаи.

Вариант 1 граничных условий

На область определения решения накладываем условие на в точке A, на – в точке B. Произвол в выборе и не должен влиять на решение . С учетом (9.16)

,

получаем

, . (9.21а)

Интегрируем (9.19)

, ,

выбирая пределы, обеспечивающие выполнение (9.21а):

,

.

Находим решение неоднородного уравнения

. (9.22)

Сравниваем (9.22) с интегралом Дюамеля (9.6)

,

получаем

(9.23)

Функция Грина является результатом «сшивания» в точке возмущения x ¢ произведений линейно независимых решений однородного уравнения.

Вариант 2 граничных условий

Граничные условия на y ₁ и y ₂ накладываем в точке B. Точка A не влияет на результаты, если

, .

Из (9.19)

, .

получаем

,

.

Решение (9.16)

сравниваем с интегралом Дюамеля (9.6)

,

и находим

. (9.24)

При получаем .

Если – время, то условие при означает выполнение принципа причинности – реакция системы в момент t не может предшествовать возмущению в момент . Следовательно, вариант 2 граничных условий соответствует выбору запаздывающей функции Грина, отличной от нуля только, если реакция системы происходит позже воздействия на нее.