Уравнения Бесселя и Ломмеля. Функция Бесселя является частным решениемуравнения Бесселя

Функция Бесселя является частным решением уравнения Бесселя

. (8.1)

Для расширения области применимости уравнения Бесселя усложняем его заменой аргумента и функции, и вводим новые параметры . Это дает уравнение Ломмеля

. (8.2)

Подстановка в (8.2)

,

(8.3)

преобразует (8.2) в (8.1) с аргументом z. При , уравнение (8.2) переходит в (8.1).

В уравнениях (8.1) и (8.2) величина μ имеет вторую степень, поэтому общее решение (8.2) содержит независимые слагаемые, отличающиеся знаком μ:

. (8.4)

Уравнение получил Евгений Ломмель (1837–1899) в 1868 г.