Рекуррентные соотношения. 1. Производящую функцию (8.27)

1. Производящую функцию (8.27)

дифференцируем по x

,

подставляем (8.27)

,

получаем

.

Сравниваем коэффициенты при

.

Обобщаем на случай произвольного порядка

. (8.36)

2. Производящую функцию (8.27)

дифференцируем по t

,

подставляем (8.27)

,

получаем

.

Сравниваем коэффициенты при

.

Для произвольного порядка

. (8.37)

3. Складываем и вычитаем (8.37) и (8.36)

,

находим

, (8.38)

. (8.39)

4. Умножаем (8.38) на и сворачиваем правую сторону

, (8.40)

где использовано

.

5. Симметризуем (8.40)

.

По индукции получаем

, (8.41)

6. Умножаем (8.39)

на и сворачиваем правую сторону

,

получаем

. (8.42)

7. Симметризуем (8.42)

.

По индукции получаем

, (8.43)