Определение и примеры

Пусть имеется линейное пространство V.

Определение. Линейным оператором (линейным преобразованием) в линейном пространстве V называется правило, по которому каждому вектору ставится в соответствие вектор , причем выполняются условия линейности:

1. .

2. , – вещественное число.

Откуда по индукции получаем

.

Вектор называют образом вектора х, а х – прообразом вектора у. Оператор представляет собой обобщение понятия функции, когда область определения и область значений функции принадлежат линейному пространству V. Обозначение напоминает обозначение функции, где аргументом является вектор х; оператор А, действующий в пространстве V, обозначают: и называют преобразованием пространства.

Непосредственно из определения вытекает, что .

Примеры линейных операторов.

1. Нулевой оператор: каждому вектору ставится в соответствие 0-вектор из V –

.

2. Тождественный оператор: каждому вектору ставится в соответствие сам вектор х

.

3. Оператор подобия: , где – некоторое действительное число.

4. В пространстве рассмотрим подпространство многочленов степени . На этом подпространстве определим оператор дифференцирования D:

,

.

Линейность оператора D следует из линейности операции дифференцирования.

5. В пространстве задана фиксированная функция ; – произвольная функция из . Оператор определим так: – оператор умножения на фиксированную функцию.

Легко проверяется его линейность:

,

где ; – вещественные числа.

6. В пространстве векторов на плоскости (все векторы выходят из начала координат) рассмотрим преобразование – поворот плоскости на угол против часовой стрелки.

На рисунке 9 показано преобразование поворота на угол против часовой стрелки. Очевидно, что при повороте векторов и на этот угол диагональ параллелограмма (их сумма) поворачивается на тот же угол, т.е. . Так же очевидно, что операции умножения вектора на число и поворот на угол можно выполнить в обратном порядке – результат получим тот же. Следовательно, это преобразование линейное.

Рисунок 9