Примеры. 1. Простейшие линейные операторы – нулевой и тождественный Е – являются сопряженными, так как для любых :

1. Простейшие линейные операторы – нулевой и тождественный Е – являются сопряженными, так как для любых :

,

.

2. В трехмерном евклидовом пространстве с обычным скалярным произведением оператор А определен так: каждому вектору ставится в соответствие вектор , равный вектор-проекции на единичный вектор , т.е. . Покажем, что . Действительно,

.

.

Так как правые части равенств совпадают, то и левые их части равны, т.е. А – самосопряженный оператор.

Для самосопряженного оператора , тогда соответствующие им матрицы равны,
т.е. , где – транспонированная матрица.

Известно, если матрица совпадает со своей транспонированной, то она симметричная. Таким образом, оператор является самосопряженным тогда и только тогда, когда его матрица в каком-нибудь (и любом) ортонормированном базисе симметрична.

В главе 2 подробно рассматривались свойства симметричных матриц. Наиболее важным является следующее: для симметричной матрицы А существует ортонормированный базис самостоятельного оператора из собственных векторов матрицы. Матрица перехода С от стандартного базиса к базису является ортогональной. Матрица А оператора А в базисе из собственных векторов преобразуется по формуле:

, и имеет диагональный вид ,

где – собственные числа оператора А. Итак, имеет место теорема.

Теорема. Пусть А самосопряженный оператор. Тогда в евклидовом пространстве V существует ортонормированный базис из собственных векторов оператора А, в котором матрица оператора имеет диагональный вид. Для любой симметричной матрицы А найдется такая ортогональная матрица U, что , где – собственные значения оператора.

Приложение 1 Перпендикуляр из точки на пространство

Задача о наилучшем приближении

Если вектор x Î R ортогонален векторам y ₁, y ₂,…, y _k, то очевидно, он ортогонален любому вектору из линейной оболочки L (y ₁, y ₂,…, y _k). Вообще, если R ₁– подпространство евклидова пространства R, а вектор x Î R ортогонален любому вектору из R ₁, то говорят, что вектор х ортогонален подпространству R₁. Совокупность всех таких векторов х, которые ортогональны подпространству R ₁, сами образуют подпространство R ₂. Его называют ортогональным дополнением к подпространству R ₁.

Для того чтобы x Î R был ортогонален подпространству R ₁, достаточно, чтобы х был ортогонален каждому из векторов базиса R ₁.

Заметим, что каждый вектор пространства x Î R может быть разложен на сумму 2-х векторов: х ¢
из подпространства R ₁и х ¢¢ из его ортогонального дополнения R ₂. Размерность же всего пространства есть прямая сумма размерностей подпространства и его ортогонального дополнения.

Рассмотрим в пространстве R некоторое m -мерное подпространство R ₁: пусть вектор f Î R
не принадлежит R ₁. Поставим задачу: найти такой вектор f ₀Î R ₁, чтобы вектор h = f – f ₀был ортогонален R ₁. Вектор f ₀называют ортогональной проекцией f ₁на R ₁(см. рисунок, где в качестве R взято R ³, а подпространство R ₁– произвольная плоскость; вектор f не лежит на плоскости R ₁). Покажем сначала, что, как и в элементарной геометрии, перпендикуляр h есть кратчайшее расстояние от точки f до подпространства R ₁, т.е. если взять любой отличный от f ₀вектор f ₁Î R ₁,
то

Действительно, так как f ₀Î R ₁и f ₁Î R ₁, то и вектор f ₀– f ₁Î R ₁, а значит ортогонален вектору h = f – f ₀.

Используем теорему Пифагора:

.

Отсюда

Вычислим теперь по вектору f его ортогональную проекцию f ₀на подпространство R ₁. Пусть e ₁, e ₂,…, e _mбазис R ₁, тогда f ₀можно искать в виде

f ₀= c ₁ e ₁+ c ₂ e ₂+ … + c_me_m.

Коэффициенты c_i найдем, используя условия ортогональности f – f ₀ = h к R ₁. Для этого необходимо и достаточно, чтобы

(h, e _i)=0; (f – f ₀, e_i) = 0, (f, e _i) = (f ₀, e _i) (i =1,2,…, m).

Подставляя вместо f ₀его выражение через векторы базиса, получим относительно c_i (i =1,2,…, m) систему уравнений:

(f, e_i) = c ₁(e ₁, e _i) + c ₂(e ₂, e _i) + … + c_m (e_m, e_i) (i =1,…, m) (*)

Если базис e ₁, e ₂,…, e _m– ортогональный и нормированный, то коэффициенты c_i получатся особенно просто

c _i= (f, e _i) (i =1,…, m).

Система уравнений (*) позволяет однозначно вычислить в этом случае коэффициенты c_i,
а значит, однозначно найти проекцию вектора f на R ₁.

Этот единственный вектор f ₀может быть вычислен и в том случае, если базис e ₁, e ₂,…, e_m – произвольный. Система уравнений (*) должна иметь единственное решение. Напомним, что это значит, определитель системы должен быть отличен от нуля:

.

Определитель G называют определителем Грама векторов e ₁, e ₂,…, e_m.

Итак, чтобы найти ортогональную проекцию f ₀вектора f ₁ R ₁на подпространство R ₁, следует координаты f ₀вычислить, решив систему уравнений (*). Если в R ₁выбран ортогональный нормированный базис e ₁, e ₂,…, e_m, то координаты f ₀вычисляются по формуле:

c_i = (f, e _i) (i = 1, 2, …, m).

Сформулируем еще одну полезную теорему об определителе Грама (доказательство ее опустим).

Теорема. Обозначим определитель Грама векторов x ₁, x ₂, …, x_m

.

Тогда выполняются неравенства

.

Причем знак равенства слева достигается только когда векторы x ₁,…, x_m – линейно зависимы, а справа в случае попарной ортогональности векторов.

Рассмотрим примеры нахождения ортогональной проекции вектора на подпространство.

1. Метод наименьших квадратов.

Предполагается, что у есть линейная комбинация x ₁, x ₂,…, x_m с неизвестным коэффициентами .

.

Часто приходится определять c₁,…, c_m экспериментально, для чего n раз измеряются величины x ₁, x ₂,…, x_m и y.

Обозначим результаты k -го измерение x _{1 k} , x _{2 k} ,…, x_mk и y_k соответственно (k =1,2,…, n). Тогда для определения чисел c ₁, c ₂,…, c_m получим систему

. (**)

Обычно n > m. Так как измерение величин x ₁, …, x_m, y связано с погрешностями, то система (**), вообще говоря, несовместна, и можно говорить только о ее приближенном решении. “Лучшим” считается такой набор c ₁, c ₂,…, c_m, при котором достигается минимум квадратичного уклонения

.

Применим к этой задаче изложенные выше результаты. Рассмотрим n -мерное евклидово пространство и векторы

e ₁(x ₁₁, x ₁₂,…, x _{1 n} ), e ₂(x ₂₁, x ₂₂,…, x _{2 n} ), …, e_m (x_{m 1}, x_{m 2},…, x_mn).

Координаты вектора е_i – это результаты n -кратного измерения переменной x _i. Векторы e ₁, e ₂,…, e_m можно считать линейно независимыми; рассмотрим также вектор

y = (y ₁, y ₂,… y_m).

Систему уравнений (**) в векторном виде можно записать

c ₁ e ₁+ c ₂ e ₂+ … + c_me_m = y.

Выражение S есть квадрат длины вектора-разности

c ₁ e ₁+ c ₂ e ₂+ … + c_me_m – y.

Если обозначить R ₁– подпространство линейных комбинаций e₁, e ₂,…, e_m, то задача сводится к нахождению ортогональной проекции вектора y на R ₁, только в этом случае S достигает минимума.

Как было показано, числа c ₁, c ₂,…, c_m следует найти из системы уравнений (*) (f = y)

,

где

.