Евклидовы пространства

Определение евклидова пространства. С помощью понятия линейного пространства можно сформулировать, что такое прямая линия, плоскость, размерность пространства, параллельность. Однако многие факты евклидовой геометрии, связанные с измерением длин и углов, оставались за пределами наших рассмотрений. Вспомним, что в аналитической геометрии для определения длин и измерения углов между векторами можно было пользоваться понятием скалярного произведения. Но уже это понятие включало в себя умение мерить длину векторов и косинус угла.
В арифметическом линейном пространстве было определено скалярное произведение, и с его помощью вводились основные метрические понятия (длина вектора, ортогональность векторов).

В общем линейном пространстве V введем понятие скалярного произведения аксиоматически.

Определение. Говорят, что в вещественном линейном пространстве V определено скалярное произведение, если каждой паре векторов поставлено в соответствие действительное число, которое обозначим , причем это соответствие удовлетворяет следующим аксиомам:

1. , т.е. скалярное произведение симметрично (выполнен переместительный закон).

2. (распределительный закон).

3. , для любого вещественного .

4. при и при .

Таким образом, скалярное произведение векторов х и у является билинейной симметричной формой, положительно определенной. Всякая форма, обладающая этими свойствами, может быть принята за скалярное произведение.

Линейное пространство, в котором введено скалярное произведение, называется евклидовым.