Збіжні послідовності та їх властивості

Означення 1.

Послідовність називається збіжною до числа , якщо послідовність є нескінченно малою послідовністю.

Означення 2.

Послідовність називається збіжною до числа , якщо для будь-якого як завгодно малого додатньго числа існує такий номер , що усі елементи послідовності з номерами задовольняють умові:

.

Означення 3.

Послідовність називається збіжною до числа , якщо для будь-якого як завгодно малого додатньго числа існує такий номер , що усі елементи послідовності з номерами знаходяться у -околі числа , тобто, у інтервалі . Якщо послідовність збігається до числа , то число називається границею послідовності коли , що символічно позначається так:

.

Примітка. Усі означення збіжної послідовності еквівалентні.

Приклад 7.

Довести, що послідовність збігається до числа .

Розв’язання.

Розглянемо послідовність та переконаємося у тому, що вона нескінченно мала. Візьмемо будь-яке та розглянемо нерівність:

.

Звідси . Розв’яжемо цю нерівність відносно .

; .

Таким чином, для вибраного знайдемо таке число , що усі елементи з номерами задовольняють умові: . Отже, - нескінченно мала послідовність, за означенням (2): .