Теорема 1. Сума двох нескінченно малих послідовностей також є нескінченно мала послідовність

Сума двох нескінченно малих послідовностей також є нескінченно мала послідовність.

Доведення.

Нехай, та - нескінченно малі послідовності. Доведемо, що послідовність -нескінченно мала. Виберемо деяке як завгодно мале додатнє число . Тоді, у відповідності до умов, існує такий номер , що для усіх слушна нерівність . Виберемо також як завгодно мале додатьнє число . Тоді, існує такий номер , що для усіх слушна нерівність . Тепер виберемо як завгодно мале додатнє число , до того ж покладем, що ; . Нехай .

Розглянемо послідовність .

для усіх елементів з номером .

З цього випливає, що - нескінченно мала послідовність.

Висновок. Алгебраїчна сума будь-якого скінченного числа нескінченно малих послідовностей є також нескінченно мала послідовність.