В тройном интеграле

Если ограниченная замкнутая область пространства V = f(x,y,z) взаимно однозначно отображается на область V’ пространства = (u,v,w) Если непрерывно дифференцируемы функции: x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w) и существует якобиан

то справедлива формула:

При переходе к цилиндрическим координатам, с вязанными с x,y,z формулами: x=rcosj, y=rsinj, z=z (0<=r<=+¥, 0<=j <= 2p, -¥<=z<=+¥)

Якобиан преобразования:

И поэтому в цилиндрических координатах переход осуществляется так:

При переходе к сферическим координатам: r? j q, связанными с z,y,z формулами x=rsinq×cosj,

y=r sinqsinj, z=rcosq.

(0<=r<=+¥, 0<=j <= 2p,

0<=q <=2p)

Якобиан преобразования:

Т. е. |J|=r²×sinq.

Итак, в сферических координатах сие будет: