Краткие теоретические сведения. Трехфазные силовые трансформаторы имеют обмотки на общем сердечнике и поэтому являются трансформаторами с сильной связью

Трехфазные силовые трансформаторы имеют обмотки на общем сердечнике и поэтому являются трансформаторами с сильной связью. Режимы, в которых работают эти трансформаторы, как правило, являются линейными, т. е. насыщение сердечника отсутствует. В энергосистемах используются однофазные и трехфазные трансформаторы.

Трансформаторы изготавливаются с примерно одинаковыми параметрами фаз, и поэтому симметричные режимы достаточно моделировать, рассматривая всего лишь одну фазу трансформатора.

Схема замещения трансформатора может быть представлена в виде сосредоточенных параметров для обмоток и сердечни­ка, учитывающих различные физические эффекты. К ним относятся потери мощности на гистерезис и вихревые токи и эффект намагничивания стального сердечника, потери мощности на нагрев обмоток и ЭДС самоиндукции обмоток из-за магнитных потоков рассеяния вследствие протекания по ним переменного электрического тока.

Рассмотрим полную Т-образную схему замещения одной фазы двухобмоточного трансформатора (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Полная Т-образная схема замещения трансформатора

Потери энергии учитываются активными сопротивлениями обмоток R ₁ и R ₂. Индуктивности L ₁ и L ₂, учитывают эффект запасания энергии и наведение напряжения в обмотках от потоков рассеяния.

Намагничивание стального сердечника моделируется током намагничивания, который протекает по индуктивности намагничивания L _μ (реактивная проводимость B _μ). Потери в сердечнике на гистерезис и вихревые токи в стали учитываются активной проводимостью G _μ.

Во многих случаях ветвь намагничивания удобнее расположить в начале схемы со стороны питания (первичной обмотки для понижающих трансформаторов), а сопротивления обмоток трансформатора сложить последовательно, приводя сопротивления вторичной обмотки к напряжению первичной через коэффициент трансформации (рис. 3.2).

Рис.3.2. Г-образная схема замещения трансформатора

Коэффициент трансформации n равен отношению номинальных напряжений трансформатора. Для понижающего трансформатора примем за коэффициент трансформации отношение напряжения первичной обмотки к напряжению вторичной обмотки:

(3.1)

Для расчетов на ЭВМ удобна П-образная схема замещения трансформатора (рис. 3.3).

В отличие от схемы замещения ЛЭП П-образная схема замещения трансформатора является несим-метричной:

(3.2)

Сопротивления и проводимости Г-образной схемы замещения трансформатора, приведенные к напряжению обмотки первичного напряжения, определяются по формулам:

(3.3)

Все использованные в формулах параметры берутся из справочных данных по трансформаторам.

Для практических расчетов схем электрических сетей используются разные упрощенные математические модели, среди которых можно назвать следующие:

· модель, в которой не учитываются активные параметры схемы замещения R _т и G _μ;

· модель, в которой не учитываются потери холостого хода и мощность намагничивания стального сердечника (параметры
G _μ и B _μ).

Для записи математических моделей воспользуемся формой уравнений четырехполюсника:

(3.4)

Коэффициенты уравнений четырехполюсника связаны с параметрами П-образной схемы замещения по следующим соотношениям:

(3.5)

Подставив (3.2) в (3.5), получим коэффициенты четырехполюсника через параметры схемы замещения трансформатора:

(3.6)

В модели (3.6) учитываются все параметры схемы замещения трансформатора. Эту модель будем считать эталонной для сопоставления с упрощенными моделями.

Модель без учета активных параметров имеет коэффициенты четырехполюсника в виде:

(3.7)

Коэффициенты четырехполюсника для модели, не учитывающей потери холостого хода и мощность намагничивания, равны:

(3.8)

В настоящей работе будут использоваться три приведенные выше модели. Эталонную модель назовем Модель 1, а две другие, соответственно, Модель 2 и Модель 3.

В качестве меры погрешности моделей построим следующие характеристики трансформатора:

· для оценки погрешности Модели 2 – выходную характеристику трансформатора U ₂ = f (I ₂) при U ₁ = const:

· для оценки погрешности Модели 3 – характеристику
I ₁ = j(I ₂) при U ₂ = const.

Выполним указанные построения при изменении тока вторичной обмотки от нуля до I _ном для трех различных коэффициентов мощности: 0,8; 0,9 и 1,0.

С помощью полученных зависимостей найдем относительные погрешности Моделей 2 и 3 путем сравнения построенных по ним характеристик трансформатора с характеристиками по эталонной модели.

Выходную характеристику U ₂ = f (I ₂) построим из уравнения

. (3.9)

Примем U ₁ = U ₁ = const (совместим с вещественной осью), тогда векторная диаграмма токов и напряжений трансформатора будет иметь вид, как на рис. 3.4.

Выразим из (3.9) напряжение U ₂:

. (3.10)

Ток в (3.10) имеет угол сдвига относительно вещественной оси –(δ + φ) (см. рис. 3.4), и в уравнении (3.10) бу дет два неизвестных | U ₂| и δ, где δ входит в левую часть уравнения (3.10): U ₂ e ^{– j δ} и в правую: I ₂ e ^{– j (δ + φ)}. Следовательно, зависимость U ₂ = f (I ₂) необходимо строить путем решения уравнения (3.10).

Для удобства примем совмещенным с действительной осью вектор U ₂, тогда векторная диаграмма токов и напряжений примет вид, как на рис. 3.5, и напряжение U ₂:

, (3.11)

где U ₁ = U ₁ e^{j δ}; I ₂ = I ₂ e ^{– j φ}.

Разделим уравнение (3.11) на два уравнения с вещественными переменными. С учетом A = A = n и B = B ' + jB '', будем иметь систему уравнений:

, (3.12)

Так как и , получаем систему уравнений:

(3.13)

с неизвестными U ₂, U ₁¢ и U ₁².

Изменяя ток I ₂ в пределах от нуля до I _2ном, будем искать решение системы уравнений (3.13) для каждого значения I ₂ и строить зависимость U ₂ = f (I ₂).

В Mathcad версии 6 и выше имеется возможность определения функции как решения системы уравнений. Для этого выражение с Find имеет вид определения функции:

f (x): = Find(y ₁, y ₂,… y_n)

и далее в документе Mathcad f (x) становится определенной и является функцией аргументов x, которые включаются как параметры в решаемую систему уравнений. f (x) есть вектор-функция, где элементами являются искомые величины y ₁, y ₂, … y_n.

В нашем случае аргументами функции с Find будут I ₂ и cosδ, который также будет различным для разных выходных характеристик.

Для удобства записи введем еще две переменные I '₂ = I ₂cosφ и I' '₂ = I ₂sinφ.

Пример определения функции как решения системы уравнений:

Здесь функция F является вектор-функцией, т. е. содержит пять элементов (по числу неизвестных). Первый элемент дает функцию U ₂, второй – U ¢₁ и т. д. Нас интересует только первый элемент: функция U ₂ от I ₂ и cosφ. Если переменная ORIGIN в Mathcad имеет заданное по умолчанию значение 0, то наша функция будет использоваться в виде: F (I ₂,cosφ)₀. Так, например, для cosφ = 0,8 выходная характеристика будет строиться по функции F (I ₂, 0.8)₀ при изменении тока от 0 до I _ном.

Характеристику I ₁ = φ(I ₂) будем строить по уравнению четырехполюсника:

. (3.14)

Также будем считать U ₂ совмещенным с действительной осью, тогда I ₂ = I ₂ e ^{- j φ} и

. (3.15)

В данном случае построение зависимости I ₁ = φ(I ₂) выполняется без решения системы уравнений.

Определим функцию I ₁ = φ(I ₂, cosφ) и построим зависимость ее модуля для I ₂ = 0... I _2ном для трех значений cosφ: 0,8; 0,9 и 1,0.

Полученные характеристики для трех моделей следует использовать для построения функций погрешностей по отношению к эталонной модели – полной Г-образной схеме замещения, где учитываются все физические эффекты в стали и обмотках трансформатора.

Обозначим модели, используя разные буквы для функций:

· для U ₂ = f (I ₂):

F _I – полная Г-образная схема замещения (эталон, Модель 1);

F _II – Г-образная схема без активных параметров (Модель 2).

· для I ₁ = φ(I ₂):

Ф_I – полная Г-образная схема замещения (эталон, Модель 1)

Ф_III – Г-образная схема замещения без учета потерь холостого хода и мощности намагничивания (Модель 3).

Тогда функции погрешностей (в процентах) можно определить как

(3.15)