Численная модель характеризуется зависимостью такого вида, который допускает только частные численные решения для конкретных начальных условий и количественных параметров модели. 4 страница

(Заметим, что указанная «близость» весьма относительно, так как оператора F ₀ и F могут иметь разные структуру, могут быть сформулированы на разных языках и иметь разные число входов. Именно поэтому близость операторов непосредственно оценить трудно или просто невозможно, тем более что часто об операторе объекта F₀ мало что известно.) В связи с этим естественно оценивать близость операторов по их реакциям на одно и тоже входное воздействие Х, т.е. по выходом объекта Y(t)=F₀[ X, E(t)] и модели Y^M=F(X). Степень близости этих реакций в каждый момент времени можно оценить, например, значением квадрата модуля разности векторов выхода:

, (2^’)

где векторов выхода модели.

В общем случае близость объекта и модели оценивается так называемой функцией невязки ρ. Это скалярная функция двух векторных аргументов – выходов объекта и модели:

, (3)

которая обладает следующими свойствами:

1) не отрицательна для любых Y(t) и Y^M (t), т.е.

ρ(Y(t), Y^M (t)) ≥ 0

2) равно нулю при Y(t) ≡ Y^M (t), т.е.

ρ(Y(t), Y^M (t))=0;

3) непрерывна и выпукла вниз по обоим аргументам, т.е.

(4)

ρ((1-λ)Y₁+λY₂, Y^M) ≤ (1-λ)ρ(Y₁, Y^M)+λρ(Y₂, Y^M)
ρ(Y(1-λ)Y^M₁+λY^M₂) ≤ (1-λ)ρ(Y, Y^M₁)+λρ(Y, Y^M₂)

где 0 ≤ λ ≤ 1.

Говоря проще, эта функция всегда лежит ниже отрезка прямой, соединяющей две любые точки (Y₁, Y^M₁) и (Y₂, Y^M₂), где Y_i, Y^M _i – произвольные векторы. Удовлетворить этим требованиям не сложно. Так, соотношение (2') соответствует им. Именно оно и будет чаще всего применяться в дальнейшим.

Теперь сформулируем задачу идентификации. Она заключается в том, чтобы построит такой оператор модели F, которой бы реагировал на возмущение Х аналогично реакции объекта У. Реакция оператора модели на вход Х имеет вид:

У^М=F(X)

Следовательно модельный оператор F должен быть таким, чтобы:

УМ ~ У

где ~ знак эквивалентности, т.е. выходы модели и объекта при одинаковых входных воздействиях Х должен быть эквивалентны Этого можно добиться, если ввести единую меру близости на всем интервале наблюдения, а не только в каждой точке, как (3).

Такой мерой в непрерывном случае (объект А=αβγ0) может быть интеграл

Действительно, в соответствии с определениям функции ρ(.,.) величина Q выражает степень близости функций Y(t) и Y^M (t) в интервале 0 ≤ t ≤ T. Значение явно зависит от F:

и задача идентификации заключается в ее минимизации путем соответствующего выбора оператора модели F. Если по физическому смыслу задачи важность информации Вв различные моменты времени не одинакова, то целесообразно введение переменного веса h(t)>0:

(5)

с естественным нормированием

(6)

Выбор функции h(t) определяется ценностью информации. Например, для стохастического непрерывного объекта (А=αβγ0) при неравноточных наблюдениях, т.е. когда дисперсия ошибки наблюдения выхода зависит определённым образом от времени

,

где f(t) – заданная функция, вес h(t) должен изменяться следующим образом:

где, k – нормирующий член, обеспечивающий выполнение условия (6). Это означает, что ценность информации обратно пропорционально уровняю дисперсии случайных помех.

Величину Q(F) часто называют невязкой выходов объекта и модели. Эта невязка является функционалом, зависящим от оператора модели F. По своей конструкции эта невязка неотрицательно и равно нулю при , т. е. при совпадение выходов объекта и модели на исследуемом интервале.

Если объект является статическим и непрерывным А=0βγ0 т. е., F(·) есть функция то невязка (5) принимает вид:

Для дискретного объекта () функционал невязки записывается в очевидной форме:

(7)

а статическим дискретный объект () имеет функционал невязки в виде:

где, - вес информация в i -й момент времени. Если объект стохастический и дискретный () и измерения, например, зашумлены случайной помехой с изменяющейся дисперсией σ²_i(i=1,..., N), то вес следует определять как

h_i=k/σ²_i,

где k – нормирующий член.

Таким образом степень несоответствия (степень невязки) операторов модели и объекта можно выразить в виде функционалов типов (5) и (7), зависящих явно от оператора модели F.

Естественно, процесс идентификации, т. е. процесс определения оператора модели, строит так, чтобы минимизировать указанную невязку, т. е. решать задачи минимизации функционала Q(F) по оператору F:

(8)

Эта символическая запись выражает следующую простую мысль: нужно минимизировать функционал Q(F), варьируя оператором (или в простейшим случае функцией) F не произвольно, а в некотором определенном классе операторов (или функцией) Ω. Это обозначается с отношение F ÎΩ, т. е. F принадлежит классу Ω, где Ω – заданный класс операторов или функций. Результатом процедуры минимизации является некоторый оператор (или функция) F^* (не обязательно единственно), обладающий свойством:

(9)

т. е. невязка Q^* на этом операторе минимально (точнее, не превышает всех возможных невязок, которые можно получить в классе Ω).

Говоря еще проще, для идентификации в заданном классе надо найти оператор F, минимизирующий функционал невязки Q(F) на этом классе.

Утверждения, что идентификация всегда сводиться к операции отыскания минимума, естественно, преувеличено. Действительно легко представить себе статический объект, который идентифицируется путем решения системы линейных или в общем случае нелинейных уравнений. Однако утверждения о сведении задания идентификации к задаче минимизации имеют общий характер для всех случаев идентификации с любыми классами допустимых операторов и функций.

Таким образом, использование процедуры минимизация для решение задачи идентификации объектов является принципиальным и важным обстоятельством, свойственным обычно решению сложных задач идентификации.

2. Трудности идентификации

Отметим две трудности постановки и решения задачи идентификации.

Первая трудность заключается в определении класса оператора Ω, в котором ищется это решение. Преодоление этой трудности едва ли в настоящая время возможно формальным образом.

Действительно, на стадии определение класса Ω должна быт использована априорная информации об объекте как предмета идентификации для целей управления. Этот этап крайне трудно формализуем и нуждается в эвратических решениях. Пока такие решения может принимать только человек.

Для принятия решения о классе Ω необходимо учесть следующее:

1) структур объекта управления;

2) механизм работы объекта;

3) цель управления;

4) алгоритм управления.

Последние два пункта связывают класс Ω с будущим управлением, для которого и идентифицируется объект.

Вторая трудность, которую нужно преодолевать при идентификации, заключается в решении поставленной задачи минимизации (8) с наименьшим ущербом для потребителя. дело в том, что процесс решения всякий задачи связан с определенными потерями (времени, средств, оборудование, энергии и т. д.). Это обстоятельство накладывает определенные ограничение на выбор алгоритма идентификации.

Действительно, это алгоритм должен решать поставленную задачу в определенном смысле наилучшим образом. Например, задачи идентификации должна быть решена за минимальное время или затраты средств на ее решение должны быть минимальные и т. д.

Как видно, всегда должен быть определен критерий эффективности процесса решение задачи идентификации. Чаше всего это будет ущерб, наносимый в процессе решение задачи идентификации, т. е. потери на идентификацию. Очевидно, что эти потери зависят от сложности задачи (8), необходимого объема экспериментальных данных и способа решения задачи, т. е. от алгоритма минимизации функционала Q(F).

Обозначим через А – алгоритм решения задачи идентификации (9), а I – потери на идентификацию, которые представляют собой функционал, зависящий от алгоритма А. Очевидно, что алгоритм следует выбирать таким, чтобы потери на идентификацию I были минимальны. Отсюда очевидным образом следует задача определения алгоритма как задача минимизации:

(10)

где I{B, A} – потери на идентификацию, т. е. на решение задачи B=[Q((F)à min_FÎΩ] с помощью алгоритма А. Этот функционал должен быть задан. К примеру это может быть временно или стоимость решения задачи идентификации, сложность ее программирования, сложность применяемой при этой операторе, ее амортизация в процессе работе и т.д.

Задача (10) формулируется следующим образом: нужно в классе Ξ найти алгоритме идентификации А*, которой минимизирует потери на идентификацию I заданного объекта. Такой алгоритм А* естественно называть оптимальном в указанном смысле. Класс Ξ алгоритмов идентификации при этом должен быть задан. Если множество Ξ состоит из конечного и не слишком большого числа алгоритмов т. е.

Ξ

Заметим сразу, что, как правило, для идентификации выбирается не оптимальный алгоритм А*, а некоторый рациональный алгоритм Ã*, который обеспечивает решения задачи при допустимых потерях на идентификацию. Пусть I – допустимые потери. Тогда задача отыскание рационального алгоритма сводится к следующей:

(11)

Любой алгоритм из множества Ξ, удовлетворяющий этому неравенству, следует считать рациональным.

Таким образом, вторая трудность решение задачи идентификации сводиться к отысканию алгоритма решения этой задачи. При этом искомый алгоритм не может быть любым и должен удовлетворять определенным требованиям – оптимальности (10) или рациональности (11). Не последнюю роль здесь играет задание класса алгоритмов идентификации Ξ. процесс определение класса Ξ является эвристическим и пока доступным лишь человеку.

Контрольные вопросы

1. Определение задачи идентификации.

2. Как ставиться задача идентификация?

3. Что понимается под функцией невязки выходов объекта и модели?

4. Сведение задачи идентификация к задаче оптимизации?

5. Какие трудности возникают в задачах идентификации?

Литература

20.

21.

22.

23.

24.

Лекция 6. ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ И КЛАССИФИКАЦИЯ
МЕТОДОВ ИДЕНТИФИКАЦИИ (2 часа)

План

1. Идентификация структуры и параметров объекта

2. Классификация методов идентификации

1. Идентификация структуры и параметров объекта

Будем называть структурной идентификацией процесс определения структуры оператора модели F. Если же структура этого оператора F определена или априори известно, то процесс идентификации сводится к определению параметров этой структуры, т. е. задаче более простой чем предыдущая. Назовем ее параметрической идентификацией (иногда первый процесс называет идентификацией широком смысле, а второй – в узком).

Таким образом, идентификация структуры связана прежде всего с предварительном выбором структуры модели, а идентификация параметров – лишь с определением параметров этой модели при заданной структуре. Как видно, первый этап структурной идентификации предшествует второму и часто включает в себя второй как составную часть.

К сожалению, понятия «структура» не имеет четкого определения, хотя по видимому, интуитивно понимается всеми примерно одинаково. Будем под структурой модели понимать вид оператора с точностью до его коэффициентов. Заметим, что структура объекта, кодируемая А, вообще говоря, может не совпадать со структурой модели. Так, стохастический свойства объекта обычно не отражаются модели, а лишь определяют выбор метода идентификации ее параметров. Кроме того, модель может заведомо иметь меньше входов и выходов, чем их имеет объект. Это часто делает при малом объеме наблюдений (иначе не определить параметры модели).

Теперь уточным задачу идентификации. В (8) проблема сформулирована в самом общем виде, когда идентифицируется и структура и параметры модели. Пусть структуры и модели известна, т. е. задача структурной идентификации решена. Тогда оператор F(х) может быть представлен в виде

F(x)= f (x, c),

где f (.,.) – заданный оператор, а С=(с₁,..., с_к) –вектор неизвестных параметров модели. В этом случае задача идентификации параметров модели может быть записана, вообще говоря в виде задачи минимизации функции (а не функционала) невязки:

(12)

решением которой является вектор С*=(с*₁,... с*_к). Здесь

функция невязки выходов объекта и модели; R^k – k- мерное евклидово пространства векторов С. Здесь трудности решения задачи заключается в организации эффективного процесса минимизации заданных функций многих (к) переменных. Заметим, что так, как структура модели известна, то число переменных k определено заранее.

Очень часто структуру можно закодировать, введя структурный параметры. Такими структурными параметрами является числа k и l в примере 2. В общем случае обозначим эти параметры вектором.

D=(d₁,..., d_q),

Это означает, что структура кодируется q величинами d₁,..., d_q. Оператор модели теперь представляется в виде

F(X) = f(X, C, D),

Где f—заданный оператор. Здесь оператор модели определяется двумя типами параметров структурными D и параметрами объекта С. Функция невязки выходов объекта и модели (5) здесь принимает вид:

(13)

Тогда задачи идентификации в широком смысле сведется к решению следующий задачи минимизации функции k+q переменных:

Здесь S – область определения структурных параметров.

В заключение отметим, что сведение общей задачи идентификации (8) к параметрический идентификации (12) и (13) естественно имеет условный характер. Целью такого представления является упрощения задачи и сведение ее к известно ранее с хорошо разработанными методами решения. Такой задачей является задача математической программирования: минимизация функции многих переменных, принадлежащих заданному множеству. Именно так мы сформулируем задачи параметрических идентификации.

Однако не следует думать, что такое сведение задачи идентификации к задаче математического программирование решает все проблемы идентификации. Здесь возникает ряд новых проблем, например как это сведение сделать в конкретном случае как решить полученную задачу минимизации? Эти проблемы порождают другие и т. д. Но связь идентификации с математическим программированием, отмеченную выше, следует всегда иметь виду.

2. Классификация методов идентификации

Будем различать методы идентификации по трем классификационным признакам и характеризовать метод значениями этих признаков:

(14)

которые кодируют метод. Здесь ξ, η, ς – структурные признаки, которые могут принимать два значения. Естественно, что структура метода никак не исчерпывается этими тремя признаками. Тройка (14) служит, скорее, для обозначения метода, чем для его описания. Рассмотрим и охарактеризуем эти признаки.