Статистические игры с единичным неидеальным экспериментом

Не всегда возможен эксперимент, позволяющий точно определить будущее состояние природы. Пусть исход единичного эксперимента случаен и состоит в появлении одного из к событий S1, S2, …, Sк. Каждый исход наступает с некоторой вероятностью W lj – это условная вероятность появления исхода Sl для состояния природы Пj.

(l = 1, k), (j = 1, n). Распределение этих вероятностей зависит от состояния природы: к

å Wlj = 1.

l=1

Матрица условных вероятностей известна:

Sl\ Пl П1 П2 … Пn

S1 W11 W12... W1n

S2 W21 W22... W2n

................

Sk Wk1 Wk2... Wkn

В описании ситуации возникает 2 вопроса: 1) целесообразно ли проведение эксперимента; 2) если проведение эксперимента целесообразно, то какая стратегия будет лучшей в случае того или иного исхода эксперимента.

Чтобы ответить на первый вопрос, следует сравнить мах-но возможный средний выигрыш без проведения эксперимента со средним выигрышем, который можно получить после эксперимента.

1)мах-но возможный средний выигрыш без проведения эксперимента определяется по критерию ba.

n

ba = мах å аij * Qi

i j=1

2) средний выигрыш после проведения эксперимента.

Сначала определяются условные мах-ые средние выигрыши при каждом возможном исходе эксперимента. Так, в случае появления исхода Sl, необходимо уточнить априорные (доопытные) вероятности наступления состояний природы. Апостоприорные (послеопыт.) вероятности определяются по формуле Байеса.

V jl = (Qj * Wlj)/hl (j = 1, n)

hl – полная вероятность исхода Sl по формуле полной вероятности:

n

hl = å Qi * Wlj.

j=1

Зная уточненные вероятности наступления состояний природы (V jl) игрок А для каждой своей стратегии определяет условный средний выигрыш.

_ n

а il = å а ij * V jl, (i = 1, m)

j=1

Теперь по критерию ba выбирается условный мах-ый средний выигрыш при исходе эксперимента Sl.

_

ba l = мах а il.

i

Соответствующая стратегия является условно оптимальной стратегией для l-того исхода эксперимента.

Все эти расчеты выполняются для каждого из к исходов эксперимента.

Условно мах-ный средний выигрыш – величина случайная. Вероятность появления его различных значений совпадает с вероятностями появления исходов эксперимента S1, S2, …, Sк. Средний выигрыш при проведении эксперимента рассчитывается по формуле:

_ к

а = å ba l * hl.

l=1

Очевидно, что проведение эксперимента целесообразно, если увеличение среднего выигрыша за счет выполнения эксперимента превышает затраты на эксперимент: _

а - ba > С.

Если единичный неидеальный эксперимент целесообразен, то необходимо сформулировать «решающие правила», указывающие, какую из стратегий следует выбрать игроку А при каждом возможном исходе эксперимента. Рекомендуется использовать соответ. условно оптимальные стратегии.

Задача Джонсона.

Имеются m различных станков, на которых необходимо обработать детали n видов. При этом кажд.деталь требует одной и той же последовательности операции. Очередность обработки детали одинакова для всех станков. Кажд.деталь характериз-ся временем ее обработки на каждом станке (t_ij). I- № станка, j-№ детали.

Требуется определить такой порядок обработки деталей, кот.соответствует наим.t, необ.для обработки всех деталей. Если порядок запуска деталей на станки задан, то t обработки всех деталей м.посчитать. Поэтому, если кол-во деталей и станков небольшое, рассматриваются все возможные варианты очередности обработки деталей. Среди них выбирается лучший. При больших m и n такой невозможен, т.к.общее кол-во (n!)^m. При помощи методов оптимизации задачу удается решить только в простых случаях, например при m=2.Подлежащие обработке детали необходимо разделить на 2 группы: 1-детали, для кот-х время обработки на 1-ом станке не больше, чем на 2.t_ij£t_ij. 2-все остальные t_1j>t_2j. Обработка начинается с деталей 1 группы. Они запускаются в порядке возраст.t на обработки на 1 станке. Затем обраб-ся детали 2 группы в порядке убыв-я t их обработки на 2 станке.

Общее время обработки всех деталей опред-ся на основании графика загрузки станков.

2 алгоритм решения задачи при m=2. Среди t_ij отыскивают минимальную величину. Если оан находится в 1 столбце, то соответствующая деталь обрабатывается 1-ой, если во 2-ом столбце-то последний. Та деталь или детали относительно которой известно, когда ее следует обрабатывать, вычеркиваются из списка деталей и вся процедура повторяется снрва.(2,1,4,7) (6,5,3).