Матем.моделирование-метод решения оптимизационных задач

В различных областях челов.деят-сти и прежде всего в экономике находят применение задачи, где необходим выбор одного из возможных способа действий – экстремальные задачи. Изучением экстремальных задач и разработкой методов их решения занимается мате.программирование. В общем виде мат.постановка экстрем.задачи состоит в определении наиб. или наим. Значения функции f(x1,x2,…xn)→max,min при условии gi(x1,x2,…xn) {≤,=,≥} bi (i=1,‾m), где f и g – заданные функции, bi – некот.действит.число

В зав-сти от вида функций f и gi, задачи матем.програм-ия делятся на задачи линейного прогр-ия и на задачи нелинейного прогр-ия. Если все функции f и gi линейные, то соотв-щие задачи явл-ся задачами ЛП. Если хотя бы одна из них нелинейна, то задача будет задачей неЛП.

5. Задача оптимального использования ресурсов.

Постановка задачи. Для произ-ва продукции необходимы ресурсы, количество которых ограничено (ограничены запасы). Предприятие может выпускать продукцию n типов. Известны нормы затрат ресурсов и запасы, а также цены изделия каждого типа. Требуется определить план произв-ва продукции. Критерий оптимальности – мах выручки от реализации.

Система переменных: x1 – колич-во изделий 1 типа; хn – количество изделий n типа.

Pj - цена j–го изделия; aij – норма затрат i-го ресурса на произв-во j-го вида изделия; bm – запас ресурса.

Матем.модель: F(x) = p1x1+p2x2+…+pnxn→max, -целевая функция;

a11x1+a12x2+…+a1nxn≤b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn≤b2

…

am1x1+am2x2+…+amnxn≤bm

x1≥0, x2≥0,… xn≥0.

Задача рационального раскроя материала

Постановка задачи. Листовой материал обычно поступает на предп-ие в виде стандартных форм, из кот.необх-мо нарезать заготовки определ.размеров. При разрезании листов на заготовки все остатки идут в отходы. Выход заготовок зависит от принятых вариантов раскроя. Требуется составить оптимальный план раскроя. Критерий оптимал-сти – min суммарные отходы.

Условные обозначения: m – кол-во видов заготовок; i – номер вида заготовки; n – кол-во вариантов раскроя; j – номер варианта раскроя; aij – выход заготовок i-го вида из листа, раскроенного по j-му варианту; bi –необх. Кол-во заготовок i-го типа; cj – отходы при раскрое одного листа по j-му варианту; xj – кол-во листов раскроенных по j-му варианту.

Матем.модель: F(x)=c1x1+c2x2+…+cnxn→min

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

…

am1x1+am2x2+…+amnxn=bm

x1≥0, x2≥0,… xn≥0.

В качестве критерия оптимальности можно исп-ть также min общего кол-ва разрезаемых листов.