Машини Тьюрінга. Гіпотеза Тьюрінга

Маши́на Тю́ринга — математичне поняття, введене для формального уточнення інтуїтивного поняття алгоритму. Названа на честь англійського математика Алана Тюринга, який запропонував це поняття у 1936. Аналогічну конструкцію машини згодом і незалежно від Тюринга ввів американський математик Еміль Пост.

Основна ідея, що лежить в основі машини Тюринга, дуже проста. Машина Тюринга — це абстрактна машина (автомат), що працює зі стрічкою, що складається із окремих комірок, в яких записано символи. Машина також має голівку для запису та читання символів із комірок і яка може рухатись вздовж стрічки. На кожному кроці машина зчитує символ із комірки, на яку вказує голівка та, на основі зчитаного символу та внутрішнього стану, робиться наступний крок. При цьому, машина може змінити свій стан, записати інший символ в комірку або пересунути голівку на одну комірку ліворуч або праворуч.

У кожної машини Тюринга є стрічка, потенційно нескінченна в обидві сторони. Є скінченна множина символів стрічки S₀, …, S_n, що називається алфавітом машини. У кожен момент часу кожна комірка може бути зайнята не більш ніж одним символом. Машина має деяку скінченну множину внутрішніх станів q₀, q₁, …, q_n. У кожен даний момент часу машина знаходиться лише в одному із цих станів.

Нарешті, є голівка, яка у кожен даний момент часу знаходиться на одній із комірок стрічки. Машина діє не безупинно, а лише у дискретні моменти часу. Якщо у якийсь момент t голівка сприймає комірку (тобто знаходиться на комірці), що містить символ S_i, і машина знаходиться у внутрішньому стані q_j, то дія машини визначена однією із чотирьох дій:

1. голівка затирає символ S_i, і записує у тій же комірці новий символ S_k,

2. голівка пересувається в сусідню ліву комірку,

3. голівка пересувається в сусідню праву комірку,

4. машина зупиняється.

У випадках (1)-(3) машина переходить у новий внутрішній стан q_r, і готова знову до дії у наступний момент t + 1. Припустимо, що символ S₀ представляє порожню комірку, і отже, голівка завжди сприймає деякий символ.

Перші три з можливих дій машини можуть бути описані відповідно такими упорядкованими четвірками, які називаються командами:

1.

2.

3.

Тут перші два символа — це відповідно внутрішні стани машини і сприйнятий символ, наступні три визначають дію машини (запис голівкою символу S_k, або переміщення голівки на одну комірку вліво, або переміщення голівки на одну комірку вправо) та новий стан машини. Якщо стрічка вкладена в машину Тюринга, голівка машини встановлена на одну із комірок стрічки і машина приведена в один із своїх внутрішніх станів, то машина починає оперувати на стрічці: її голівка пише і стирає символи і пересувається з однієї комірки в іншу. Якщо при цьому машина колись зупиняється, то стрічка, яка розташована в ній в цей момент, називається результатом застосування машини до даної стрічки.

Незважаючи на свій простий устрій, машина Тюринга може виконувати складні перетворення слів. Спочатку, коли стрічка містить вхідне слово, автомат знаходиться проти деякої з комірок і у якомусь стані. У залежності від вибору початкової комірки, утворяться різні результати роботи машини Тюринга. У процесі своєї роботи машина Тюринга буде ніби перестрибувати з однієї комірки програми на іншу, відповідно до інформації на стрічці і вказівками в командах програми, поки не дійде до команди, яка переведе автомат у кінцевий стан.

Теза Т'юринга - бране без доведення фундаментальне положення теорії алгоритмів, згідно з яким всякий алгоритм представимо у формі машини Т'юринга.

Основна ідея уточнення поняття «алгоритм» по Т'юрингу полягає в тому, що «алгоритмічні процеси – процеси, які можуть імітуватися на відповідно побудованій абстрактній машині, що описується в точних математичних термінах». В світлі цієї ідеї програма машини Т'юринга є конструктивним процесом алгоритмічної системи, конструктивні об'єкти якої – слова в заданому алфавіті.

Машина Тьюринга, как бесконечный автомат <A, Q, p> (внешний алфавит А=íа₀, а_1… а_mý; алфавит внутренних состояний Q=íq₀, q_1… q_ný; программа p), есть формальная система F.S=<L, D>, порождающая множество L своих конфигураций (машинных слов) a₁ q_j a_i a₂ (a₁, a₂ÎА^*, a₁ и a₂ могут быть пустыми). {q_j a_j ® q_l a_p d_t}; q_j, q_l, q₀ A; , преобразующая входные слова в выходные , т.е. f: , в том и только том случае, если слово применимо к алгоритму S_f (рассматриваемого как машину Тьюринга с начальной конфигурацией и заключительной конфигурацией ; - соответственно начальное и заключительное состояние машины; ) – пошаговые движения головки – неподвижно, влево, вправо.

Отже, МТ – алгоритмічно повна система побуквенної обробки словарної інформації. Ця гіпотетична машина є формою існування і запису алгоритму. Вирішити завдання по Т'юрингу означає побудувати МТ, керуючись ідеєю завдання.

33. Нормальний алгоритм Маркова — система послідовних застосувань, підстановок, які реалізують певні процедури отримання нових слів із базових, які побудовані на певному алфавіті.