Элементы теории шкал измерений

Термин «шкала» в метрологической практике имеет по крайней мере два различных значения. Во-первых, шкалой или, точнее, шкалой измерений называют абстрактное понятие, определенное в РМГ 83-2007. Во-вторых, шкалой называют отсчетные устройства аналоговых средств измерений.

Измеряют различные свойства тел, веществ, явлений, процессов. Измеряемым свойствам дают названия, такие как масса, интервал времени, термодинамическая температура, цвет и т.д. Одни свойства при этом проявляются количественно (длина, масса, температура и т.п.), а другие - качественно. Например, цвет, поскольку не имеет смысла выражение типа «красный цвет больше (меньше) синего». Измеряемые количественные свойства называют измеряемыми величинами. Многообразие (количественное или качественное) проявлений любого свойства образует множество, отображение элементов которого на множество чисел или, в более общем случае, на систему условных знаков представляет собой шкалу измерений этого свойства. Такими системами знаков являются, например, множество обозначений (названий) цветов, совокупность классификационных символов или понятий, множество баллов оценки состояний объекта, множество действительных чисел и т.д. Элементы множеств проявления свойств находятся в определенных логических соотношениях между собой. Такими соотношениями могут быть «эквивалентность» (равенство), «отличие», «сходство» (близость) этих элементов, их количественная различимость («больше», «меньше»), реальная выполнимость операций сложения, вычитания, умножения, деления элементов множеств и т.д. Эти особенности свойств определяют типы соответствующих им шкал измерений.

Шкала (измерений) РМГ 83-2007: Отображение множества различных проявлений количественного или качественного свойства на принятое по соглашению упорядоченное множество чисел или другую систему логически связанных знаков (обозначений)

Шкала измерений количественного свойства является шкалой ФВ.

Шкалой ФВ РМГ 29-99: Упорядоченная совокупность значений физической величины, служащая исходной основой для измерений данной величины.

В соответствии с логической структурой проявления свойств в теории изме-рений различают пять основных типов шкал измерений: наименований, порядка, разностей (интервалов), отношений и абсолютные шкалы. Шкалы каждого типа обладают определенными признаками, основные из которых рассмотрены ниже.

Различают пять основных типов шкал измерений.

1. Шкала наименований (шкала классификации) РМГ 83-2007: Шкала измерений качественного свойства, характеризующаяся только соотношениями эквивалентности или отличиями проявлений этого свойства.

Такие шкалы используются для классификации эмпирических объектов, свойства которых проявляются только в отношении эквивалентности (равенства), отличия и сходства конкретных качественных проявлений свойств. Эти свойства нельзя считать ФВ, поэтому шкалы такого вида не являются шкалами ФВ. Это самый простой тип шкал, основанный на приписывании качественным свойствам объектов цифр (знаков), играющих роль простых имен.

Нумерация объектов по шкале наименований осуществляется по принципу: "не приписывай одну и ту же цифру (букву) разным объектам". Такое приписывание цифр выполняет на практике ту же функцию, что и наименование. Поэтому с цифрами, используемыми только как специфические имена, нельзя производить никаких арифметических действий. Они могут быть использованы только для определения вероятности или частоты появления данного объекта. Если, например, один из резисторов обозначен в схеме R₆, а другой R₁₈, то из этого нельзя сделать заключение, что значения их сопротивления отличаются втрое, а можно лишь установить, что оба они относятся к классу резисторов.

Отличительные признаки шкал наименований: неприменимость в них понятий нуля, единицы измерений, размерности; допустимость только изоморфных или гомоморфных преобразований; недопустимость изменения спецификаций, описывающих конкретные шкалы.

Примером шкал наименований являются атласы цветов, предназначенные для идентификации цвета, шкалы запахов, шкала группы крови человека.

2. Шкала порядка (шкала рангов) РМГ 83-07: Шкала измерений количествен-ного свойства (величины), характеризующаяся соотношениями эквивалентности и порядка по возрастанию (убыванию) различных проявлений свойства.

Эта шкала является монотонно возрастающей или убывающей и позволяет установить отношение больше/меньше, лучше/хуже между величинами, характеризующими указанное свойство. В шкалах порядка существует или не существует нуль, но принципиально нельзя применять понятие «размерность» и ввести единицы измерения, так как для них не установлено отношение пропорциональности и соответственно нет возможности судить, во сколько раз больше или меньше конкретные проявления свойства.

Широкое распространение получили шкалы порядка с нанесенными на них реперными точками. К таким шкалам, например, относится шкала Мооса для определения твердости минералов, которая содержит 10 опорных (реперных) минералов с различными условными числами твердости, шкала вязкости Энглера, 12-балльная шкала Бофорта для измерения силы морского ветра

Определение значения величин при помощи шкал порядка нельзя считать измерением, так как на этих шкалах не могут быть введены единицы измерения. Операцию по приписыванию числа данной величине следует считать оцениванием. Оценивание по шкалам порядка является неоднозначным и весьма условным. С помощью чисел на этих шкалах можно найти вероятности, моды, медианы, квантили, но их нельзя использовать для математических операций.

3. Шкала интервалов (шкала разностей) РМГ 83-2007: Шкала измерений количественного свойства (величины), характеризующаяся соотношениями эквивалентности, порядка, суммирования (аддитивности авт.) интервалов различных проявлений свойства.

Отличительные признаки шкал разностей: наличие устанавливаемых по соглашению нуля и единицы измерений; применимость понятия «размерность»; допустимость линейных преобразований; допустимость изменения спецификаций, описывающих конкретные шкалы.

К таким шкалам относится летосчисление по различным календарям, в которых за начало; отсчета принято либо сотворение мира, либо Рождество Христово и т.д. Температурные шкалы Цельсия, Фаренгейта и Реомюра также являются шкалами интервалов.

На шкале интервалов определены действия сложения и вычитания интервалов. Действительно, по шкале времени интервалы можно суммировать или вычитать и сравнивать, во сколько раз один интервал больше другого, но складывать даты каких-либо событий бессмысленно.

Шкалу интервалов величины Q можно представить в виде уравнения Q=Q ₀ +q [ Q ], где q — числовое значение величины; Q ₀ — начало отсчета шкалы; [ Q ] — единица рассматриваемой величины. Такая шкала полностью определяется заданием начала отсчета Q ₀ шкалы и единицы данной величины [ Q ].

Перевод одной шкалы интервалов Q= Q ₀₁ + q ₁[ Q ]₁, в другую Q=Q ₀₂ +q ₂[ Q ]₂осуществляется по формуле

` (1.2)

Пример 1.1. Шкала Фаренгейта является шкалой интервалов. На ней Q ₀ — температура смеси льда, поваренной соли и нашатыря, Q ₁ температура человеческого тела. Единица измерения — градус Фаренгейта: [ Q _F] = (Q ₁ - Q ₀)/96 = 1^oF.

Температура таяния смеси льда, соли и нашатыря оказалась равной 32^oF, а температура кипения воды 212°F.

По шкале Цельсия Q ₀ — температура таяния льда, Q ₁ — температура кипения воды. Градус Цельсия [ Q _C] = (Q ₁ - Q ₀)/100 = 1^oC.

Требуется получить формулу для перехода от одной шкалы к другой.

Решение. Разность температур по шкале Фаренгейта между точкой кипения воды и точкой таяния льда составляет 212°F - 32°F = 180°F. По шкале Цельсия интервал температур равен 100^oС. Следовательно, 100°С = 180^oF и отношение размеров единиц

[ Q ]₁ / [ Q ]₂ = °F / ^oC = 100/180 = 5/9

Числовое значение интервала между началами отсчета по рассматриваемым шкалам, измеренного в градусах Фаренгейта, равно 32. Переход от температуры по шкале Фаренгейта к температуре по шкале Цельсия производится по формуле

t = 5/9(t _F – 32).

4. Шкала отношений РМГ 83-2007: Шкала измерений количественного свойства (величины), характеризующаяся соотношениями эквивалентности, порядка, пропорциональности (допускающими в ряде случаев операцию суммирования) различных проявлений свойства.

Шкалы отношений, в которых не имеет смысла операция суммирования, а только определены операции вычитания и умножения называют «пропорциональными шкалами отношений» (1-го рода), а шкалы, в которых суммирование имеет смысл, называют «аддитивными шкалами отношений» (2-го рода). Например, шкала термодинамических температур - пропорциональная, шкала масс - аддитивная.

Отличительные признаки шкал отношений: наличие естественного нуля и устанавливаемой по соглашению единицы измерений; применимость понятия «размерность»; допустимость масштабных преобразований, допустимость изменения спецификаций, описывающих конкретные шкалы.

С формальной точки зрения шкала отношений является шкалой интервалов с естественным началом отсчета.

Шкалы отношений — самые совершенные. Они описываются уравнением Q=q [ Q ],где Q - ФВ, для которой строится шкала; [ Q ] — ее единица измерения; q — числовое значение ФВ. Переход от одной шкалы отношений к другой происходит в соответствии с уравнением q ₂ = q ₁[ Q ₁]/ [ Q ₂].

5. Абсолютные шкалы РМГ 83-2007 Шкала отношений (пропорциональная или аддитивная) безразмерной величины.

Под абсолютными понимают шкалы, обладающие всеми признаками шкал отношений, но дополнительно имеющие естественное однозначное определение единицы измерения и не зависящие от принятой системы единиц измерения. Такие шкалы соответствуют относительным величинам: коэффициенту усиления, ослабления, КПД и др.

Признаки и особенности шкал различных типов а также их особенности реализации приведены в таблицах 1.1 и 1.2.