Доказательство. А)Если xn =Aпри n>n0ϵN, то для любой окрестности V(A) точки А имеем xn ϵV(A) при n>n0

А)Если x _n =Aпри n>n₀ϵN, то для любой окрестности V(A) точки А имеем x _n ϵV(A) при n>n₀, т.е. lim _n→∞ x _n = А.

Б) Пусть lim _n→∞ x _n = a.иlim _n→∞ x _n = b, при чем тогда по опр. Предела последовательности имеем

И

Положим N = max {N ₁ ,N ₂ }. Тогда ∀ε >0 ∀n > N будет справедливо |x _n –a|< ε и | x _n − b| < ε. Откуда

т.е. 1/2|a − b| < ε для ∀ε >0. Последнее возможно только при a = b.

В) пусть lim _n→∞ x _n = a.тогда по опред. Предела

Т.е. будет выполнятсяa-ε<x _n <a+ε, aтем более

–(|a|+ε)<x _n <(|a|+ε)

ПустьМ=max{|x ₁ |,|x ₂ |,…,|x _n |,|a|+ε}. Тогда получим, что |x _n |≤M