Лемма о верхней грани числового множества

Лемма 1. Всякое ограниченное сверху непустое подмножество действительных чисел X имеет единственную точную верхнюю грань. Доказательство. Единственность верхней грани для множества X обеспечивается аксиомой III2. Докажем существование верхней грани для множества X. Обозначим через Y множество всех чисел, ограничивающих сверху множество X. Множество X ограничено сверху, поэтому множество Y не пусто. Каждый элемент y ∈ Yограничивает сверху множество X, следовательно, для любого элемента x ∈ X выполняется неравенство

Элементы x и y являются произвольными элементами соответственно множеств X и Y, поэтому, в силу свойства непрерывностимножества действительных чисел, существует такое число β, что для любых x ∈ X и y ∈ Y имеет место неравенство Выполнение неравенства x≤ β для всех x ∈ X означает, что число β ограничивает сверху множество X,а выполнение неравенства β≤y для всех y ∈ Y, т.е. всех чисел, ограничивающих сверху множество X, означает, что число β является наименьшим среди всех таких, т.е. верхней гранью множества X