Лемма о вложенных отрезках

Лемма 2. Для всякой системы вложенных отрезков существует хотя бы одно число, принадлежащее всем отрезкамданной системы. Доказательство. Пусть задана система вложенных отрезков

Обозначим через A множество всех левых концов a_n - отрезков этой системы, а через B - множество их правых концов b _n. Для любых номеров m и n выполняется неравенство (1)

Поэтому из неравенства (1), в силу свойства непрерывности множества действительных чисел, следует, что существуеттакое число ξ, для которого при всех номерах m и n выполняется неравенствоа, в частности, и неравенство Последнее и означает, что число ξ принадлежит всем отрезкам [ a_n, b_n ].