Расчет плавания по локсодромии и ортодромии

Плавание между двумя точками 1 и 2 с координатами φ ₁; λ₁ и φ₂; λ₂ можно совершить двумя путями: по локсодромии (постоянным курсом, но более длинным путем) и по ортодромии (кратчайшим путем, но переменными курсами). Разница в длине пути будет существенной при плавании на большие расстояния (трансокеанские переходы) и при близких значениях широт точек 1 и 2. Локсодромия и ортодромия совпадают при курсах, близких к 0° и 180°, а также на любых курсах вблизи экватора. Будем решать задачу на сфере (без учета сфероидичности Земли).

Задача расчета плавания по локсодромии состоит в определении локсодромического курса К._л и длины локсодромии S_Л.

Рис.4.2 выполнен на карте меркаторской проекции. Следовательно, треугольник 012 является плоским прямоугольным треугольником. Гипотенуза 12 - локсодромическое плавание в морских милях, катет 01 - разность долгот в экваториальных милях, катет 02 -разность широт в морских милях и разность меридиональных частей в экваториальных милях. Угол при вершине 2 равен К_л . При выполнении расчетов северная широта, разность широт, восточная долгота и разность долгот считаются положительными, а южная широта, разность широт, западная долгота и разность долгот -отрицательными. Алгоритм решения данной задачи включает следующие действия:

1. Вычисление разности широт РШ

PШ = φ₂-φ₁.

Полученное значение РШ переводим в угловые минуты (морские мили).

2.Определение разности долгот РД

РД=λ₂- λ₁.

Если | λ₂- λ₁ | > 180°, то при вычислении РД берется дополнение абсолютной величины до 360°, знак меняется на противоположный. Полученное значение РД переводим в угловые минуты (экваториальные мили).

3. Расчет разности меридиональных частей РМЧ в экваториальных милях

РМЧ = 3437,75 * ln[tg (45 ° + <φ₂/2) / tg (45 °+ φ₁/2) ].

Примечание: Знаки РШ и РМЧ должны совпадать.

4. Определение локсодромического курса К_л

К_л' = arccos (РМЧ/); при РД > 0 К_л = К_л'; (4.3)

при РД < О К_Л = 360° - К_л'.

5. Расчет локсодромического расстояния S _л (в морских милях)

при | cosК_л, | ≥ 0,01 S _л = РШ/ cos К_л; (4.4)

при | cosК_л| < 0,01 S _л= | РД| cos φ₁. (4.5)

Курс судна задается рулевому и учитывается при прокладке на карте с точностью до 0,5°, но при вычислении локсодромического расстояния необходимо использовать значение К_л с точностью не ниже 0,001° (практически берем то значение К_л, которое появилось на индикаторе микрокалькулятора после вычисления по формуле (4.3).

При решении задачи плавания по ортодромии ограничимся расчетом D_o — длины ортодромии и К_н- начального курса плавания по ортодромии.

Треугольник с вершинами 1,2,P_N (рис.4.3) - сферический, Заданными элементами являются две стороны 90°-φ ₁ , 90°-φ₂ и угол между ними РД. Сторону D₀определим, использовав теорему косинус стороны. Угол Кн — начальный курс рассчитаем, применив теорему котангенсов для четырех рядом лежащих элементов - К_н, 90°- φ ₁, РД, 90°-φ₂.

cos D₀ = cos(90°-φ ₁) cos(90°-φ₂) + sin(90°- φ ₁) sin(90°-φ₂) cos РД; (4.6)

ctg K_H sin РД = ctg(90°-φ₂) sin(90°- φ ₁) - cos(90°- φ ₁) cos РД. (4.7)

Пример 4.2 Даны координаты двух точек в Тихом океане:

п. Сан-Франсиско 1 ( φ ₁= 37°40'N,, λ₁ = 124°30'W)

о-в Хокайдо 2 (φ₂= 42°30'N, λ₂= 143°20'Е).

Рассчитать курс и плавание по локсодромии; длину пути и начальный курс плавания по ортодромии.

Решен ие:

1. Исходные данные:

φ ₁ =37°40'N = +37,67°; φ₂= 42 ° 30' N = +42,50°;

λ₁ = 124°30' W = -124,50°; λ₂ =143°20' E = +143,33°.

2. Рассчитываем РШ, РД, РМЧ:

φ2	+42,50°	λ2	+143,33°
φ1	+37,67°	λ1	-124,50°
РШ	+4,83°	РД	+267,83°
РШ	+289,8'	РД	-92,17°
		РД	-5530,2'

РМЧ = 3437,75 ln[tg(45°+42,50°/2) / tg(45°+37,67°/2)] = +379,0'.

3. Определяем значение локсодромического курса К_л:

К_л' = arccos (379,0 / = 86,0794°;

так как РД < 0, то К_л = 360° - К_л'= 273,9206°.

4. Рассчитываем S_л:

Поскольку | cos К_л | > 0,01, то S_л рассчитываем по формуле (4.4)

S_л = 289,8' / cos 273,9206° = 4238 морских миль

5. Определяем длину ортодромии D₀:

для этого приведем формулу (4.6) к рабочему виду

Cos D₀ = sin φ₁ sin φ₂ + cos φ₁ cos φ₂ cos РД

Подставляем заданные значения аргументов в градусах с учетом их знаков. Полученное значение D₀ переводим в минуты - морские мили.

D₀ = 67,00° = 4020' = 4020 морских миль.

6. Вычислим начальный курса плавания по ортодромии К_н:

приводим формулу (4.7) к рабочему виду

tg К_н' = sin | РД|/ (tg φ₂ cos φ₁ - sin φ₁ cos РД); приРД>0 К_н = К_н';

приРД<0 К_Н = 360°-К_Н'; К_н'=53,2°; К_н= 360° - К_н'= 306,8°

Ответ: К_л = 274°; S_л = 4238 мор. миль; Д₀ = 4020 мор. миль; К_н = 307°.

В задачах № 301 - 330 по заданным координатам точки отхода 1 (φ₁; λ₁) и точки прихода 2 (φ₂; λ₂) решить задачу плавания по локсодромии - рассчитать К_л и S_л. Определить длину ортодромии D₀ и начальный курс плавания по ортодромии К_н.