Теорема Лагранжа

Теорема Лагранжа: Пусть задана ф-я и пусть она: 1) опр-на и непрер на ; 2) имеет кон произв-ю на . Тогда найдётся такая т. с (a<c<b), что вып-ся рав-во

Док-во: Введём вспомогат функцию

Она удовл-т всем условиям теоремы Ролля. Действительно, F(x) опред-на и непрер на , ,

,т.е. сущ на . След-но, найдётся точка с (a<c<b), такая, что F’(c) = 0, т.е.

или

Тогда ∆

51.Правило Лопиталя: Пусть ф-и f(x) и g(x) одновр явл либо бескон б-ми, либо беск-но малыми в т. . Тогда при выч-и пределов при x → для раскрытия неопред-тей вида или удобно применить пр. Лопиталя:

, Неопределенности вида 0 · ∞, ∞ – ∞, , , часто удается свести к неопределенностям вида или с помощью различных преобразований.

52) Достаточное усл-е возраст-я (убыв-я) ф-й.

Ф-я наз-ся возраст-ей на инт-ле , если для любых и из этого инт-ла, для которых , верно нерав-во . Ф-я наз-ся убыв-ей на инт-ле , если для любых x ₁ и x ₂ из этого инт-ла, для кот , верно нерав-во . Необх-ое усл-е возраст-я ф-ии:е сли ф-ия диффер-ма и возраста на инт-ле , то для всех х из этого инт-ла. Необх-ое усл-е убыв-я ф-ции. Если ф-ция дифф-ма и убыва на инт-ле , то для всех х из этого инт-ла. Достаточное усл-е возраст-я (убыв-я ф-и). Пусть ф-я диф-ма на инт-ле . Если во всех точках этого инт-ла , то ф-ия возраста на этом интле, а если , то ф-я убывает на этом инт-ле.