Теорема Ферма. Т-ма Ролля. Их геом смысл

Теорема Ферма:

Пусть функция определена на X и во внутренней точке С этого промежутка принимает наиб-е или наимен-е знач-е. Если сущ конечная пр-я , то необх-мо, чтобы .Док-во: Пусть в точке с принимает наиб-е значение, т.е. ≥ для х Х. По опред-ю пр-ой: = Этот предел не зависит от того, приближ-ся х к с слева или справа.Разность ≤0, следовательно, при х>с

≤0,а при x>c ≥0. Переходим к пределу:

Т. К. по усл. существует, то односторонние производные равны и =0 ∆

49а Теорема Роля: Пусть задана ф-ция и пусть она: 1) определена и непрepывна на ; 2) дифференц-ма, по крайней мере, на ; 3) имеет равные значения на концах отрезка, т.е. . Тогда найдётся с (a<c<b) такое, что =0.Док-во: Ф-ция непрерывна на , следов-но, достиг наиб-го М и наимен-го m знач-й, т.е. m≤ ≤M. Рассмотрим 2 случая:1)M=m. Тогда =const, =М, =0 и любую точку из можно принять за с.2)M>m. Так как ,то М и m не достиг-ся оба на концах отрезка, т.е. хотя бы одно достиг-ся в точке c , а по теореме Ферма =0 ∆.

Геом смысл теорем Роля и Ферма состо в том, что при выполн-и условий теоремы на инт-ле сущ точка e такая, что в соответ-ей т-ке кривой касательная ║ оси Ох. Таких точек на интервале может быть и неск-ко, но теорема утверждает существ-е по кр. мере 1 такой точки.