Расширенное свойство предела произведения

Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:

5) Предел частного

Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

Замечательные пределы:

§ Первый замечательный предел:

§ Второй замечательный предел:

=е

Свойства замеч. пределов 1:

При х -> 0

Свойства замеч пределов 2:

Sinx=x

Tgx=x

Arcsinx=x

Arctgx=x

1-cosx=

При х -> 0

Таблица эквивалентно бесконечно малых функций, её обобщение.

Раскрытие непрерывности:

Неопределенности типа

Пусть заданы две функции f (x) и g (x), такие, что

В этом случае говорят, что функция имеет неопределенность типа в точке x = a. Чтобы найти предел при x = a когда функция содержит неопределенность , нужно разложить на множители числитель и/или знаменатель и затем сократить члены, стремящиеся к нулю.

Примечание: В данном разделе при вычислении пределов не используется правило Лопиталя.

Неопределенности типа

Пусть две функции f (x) и g (x) обладают свойством

где a является действительным числом, либо стремится к + ∞ или − ∞. Говорят, что в этом случае функция имеет в точке a неопределенность типа . Для вычисления предела в этой точке необходимо разделить числитель и знаменатель на x в наивысшей степени.

Неопределенности типа

Неопределенности этих типов сводятся к рассмотренным выше неопределенностям типа и .