Предел последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Верхний и нижний пределы. Раскрытие неопределенности

Если каждому нат.числу n поставлено в соответствии некоторое число хn, то множество чисел х1, х2, х3, х4…..хn-называется последовательностью.

Хn-член последовательности. Число а называется пределом последовательности Хn если:

V -любой произвольный.

-]-существует.

Определение. Последовательность называется сходящейся, если у нее существует конечный предел (т.е. существует и ).

Рассмотрим свойства этих последовательностей.

1. Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы ее можно было представить в виде , где , а - б.м.п.

Это свойство позволяет почти все остальные свойства свести к свойствам б.м.п.

2. Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. , где б.м.п. В силу этого ограничена, т.е. .

Но тогда , т.е. ограничена.

3. Если и сходящиеся последовательности, то тоже сходящаяся последовательность и .

4. Если сходящаяся последовательность, то тоже сходится и

сходится => , где б.м.п.

Но тогда и, по свойству б.м.п. есть тоже б.м.п. Поэтому сходится и

5. Если и сходящиеся последовательности, то тоже сходящаяся последовательность и

6. Если , то начиная с некоторого , последовательность ограничена.

7. Если и сходящиеся последовательности, причем . Тогда есть также сходящаяся последовательность и

Нижний и верхний пределы:

Нижний предел последовательности — это наименьший элемент множества частичных пределов последовательности.

Верхний предел последовательности — это наибольший элемент множества частичных пределов последовательности.

Иногда нижним пределом последовательности называют наименьшую из её предельных точек, а верхним — наибольшую.^[1] Очевидно, что эти определения эквивалентны.

Нижний предел последовательности :

§ (в отечественной литературе);

§ (в иностранной литературе).

Верхний предел последовательности :

§ (в отечественной литературе);

§ (в иностранной литературе).

Раскрытие неопределенности.: см функ.