Раздел 3 Вычисления по сложным процентам

Наращение по сложным процентам. Переменные процентные ставки. Наращение при дробном числе лет. Сравнение множителей наращения по простым и сложным процентам. Наращение процентов m раз в году. Номинальная и эффективная процентные ставки. Математическое дисконтирование по сложной ставке процентов. Непрерывное наращение и дисконтирование. Банковское дисконтирование по сложной учетной ставке. Наращение по сложной учетной ставке. Номинальная и эффективная учетные ставки.

При использовании сложных ставок процентов процентные деньги, начисленные после первого периода начисления, являющегося частью общего срока долга, присоединяются к сумме долга. Во втором периоде начисления проценты будут начисляться исходя из первоначальной суммы долга, увеличенной на сумму процентов, начисленных после первого периода начисления, и так далее на каждом последующем периоде начисления. Таким образом, база для начисления сложных процентов в отличие от использования простых процентов будет увеличиваться с каждым очередным периодом начисления. Если сложные проценты начисляются по постоянной ставке ежегодно в конце года то, наращенная сумма будет равна:

S = P · (1+i)ⁿ, где

P-первоначальная сумма долга;

i - годовая ставка сложных процентов

n – срок финансовой операции в годах

(1+i)ⁿ = k_нс - коэффициент наращения по сложной ставке процентов

Пример 10. Депозит 50 тыс. руб. положен в банк на три года с начислением сложных процентов по ставке 8% годовых. Определить сумму начисленных процентов.

Решение

Сумма депозита с начисленными процентами будет равна:

S=50000·(1+0,08)³=62985,5 руб.

Сумма начисленных процентов составит:

I=S-P=62985,5-50000=12985,6 руб.

Если бы проценты начислялись по простой ставке 8% годовых, сумма их составила бы:

I_n=3·0,008·50000=12000 руб.

Таким образом, начисление процентов по сложной ставке дает большую сумму процентных денег, если срок финансовой операции больше года.

Если срок финансовой операции в годах не является целым числом, наращенная сумма, может быть определена двумя способами:

1) используют формулу S=P(1+i)ⁿ, с соответствующим нецелым показателем степени.

2) Смешанный метод и наращенная сумма определяется по формуле:

S=P(1+i)ⁿ_a·(1+n_вi), где

n = n_a+n_в

n_a- целое число лет

n_в - оставшаяся дробная часть года

Сложные проценты могут начисляться несколько раз в году. При этом годовую ставку процентов, исходя из которой, определяется величина ставки процентов в каждом периоде начисления, называют номинальной годовой ставкой процентов. При сроке долга n лет и начислении сложных процентов m раз в году общее количество периодов начисления будет равно:

N = n · m,

а наращенная сумма будет равна:

S = P · (1+ )^n·m, где

j- номинальная годовая ставка процентов

Пример 11. Банк начисляет проценты на вклады ежеквартально по номинальной ставке 10% годовых. Определить сумму процентов, начисленных за два года на вклад 2000 руб.

Решение

Количество периодов начисления равно:

2 · 4 = 8

Следовательно, наращенная сумма составит:

S=2000·(1+ )⁸=2436,8 руб.

Сумма начисленных процентов будет равна:

I = 2436,8 – 2000 = 436,8 руб.

Используя формулу для определения наращенной суммы, можно вычислить:

а) срок долга:

б) ставку сложных процентов:

и

в) первоначальную сумму долга (осуществить дисконтирование по сложной ставке процентов):

и

В условиях инфляции годовая ставка сложных процентов, обеспечивающая требуемую реальную доходность кредитной операции в виде годовой ставки r, определяется по формуле:

Н – годовой уровень инфляции

Вопросы для самопроверки

1. В чем отличие начисления процентов по сложной ставке от начисления по простой ставке?

2. Условия применения сложных процентов.

3. Почему проценты, определяемые по сложной процентной ставке выше (ниже) процентов по простой ставке?

4. Сделайте сравнительный анализ графиков изменения наращении капитала при реализации схем простых и сложных процентов.

5. Что такое номинальная ставка процентов и когда она применяется?

6. Раскройте сущность эффективной ставки процентов.

7. Какое начисление процентов - (более или менее частое) - выгодно и почему?

8. Расчет наращенной суммы при дискретно меняющейся во времени сложной ставке процентов.

9. Определение наращенной суммы за срок с дробным числом лет.

10. Вы располагаете данными о сумме, которую возможно получить через три года и хотите продать этот контракт немедленно. Какими расчетными формулами целесообразно воспользоваться и почему?