Раздел 2 Вычисления по простым процентам

Расчеты при начислении процентов. Переменные процентные ставки. Реинвестирование; математическое дисконтирование по простым процентам. Банковское дисконтирование по простым процентам.

Практически все финансово – экономические расчеты связаны с определением процентных денег. Процентными деньгами (процентами) называют сумму доходов от предоставления денег в долг в любой форме (выдача ссуд, открытие депозитных счетов, покупка облигаций, сдача оборудования в аренду и т.п.) Сумма процентных денег зависит от суммы долга, срока его выплаты и процентной ставки, характеризующей интенсивность начисления процентов. Сумму долга с начисленными процентами называют наращенной суммой. Отношение наращенной суммы к первоначальной сумме долга называют множителем (коэффициентом) наращения. Интервал времени, за который начисляют проценты, называют периодом начисления.

При использовании простых ставок процентов сумма процентных денег определяется исходя из первоначальной суммы долга независимо от количества периодов начисления и их длительности по формуле:

I = n · i · P, где

n – срок долга в годах;

i – годовая ставка простых процентов в относительных единицах;

P – первоначальная сумма долга.

Наращенная сумма на каждом периоде начисления будет определяться формулой:

S = P · (1 + n · i) = P · k_нп, где

k_нп – коэффициент наращения.

Приведенная формула используется как для определения суммы вклада с процентами, так и для определения суммы кредита с процентами при его погашении единовременным платежом.

Пример 1. Банк принимает вклады до востребования по простой ставке 8% годовых. Определить сумму процентов на вклад 2000 руб., размещенный на полгода.

Решение

Сумма вклада с процентами:

S = 2000 · (1+0,5 · 1,08) = 2080 руб.

Сумма начисленных процентов:

I = S – P = 2080 – 2000 = 80 руб.

Сумму начисленных процентов можно также определить по формуле:

I = n ∙ i ∙ P = 0.5 ∙ 0,08 ∙ 2000 = 80 руб.

Если срок долга задается в днях, в приведенную формулу надо подставить выражение:

n = , где

t - продолжительность периода начисления в днях;

K- Расчетное количество дней в году (временная база).

Наращенная сумма при этом будет определяться по формуле:

S = P ∙ (1 + ∙ i)

Количество дней в году может браться точно – 365 или 366 дней (точные проценты) или приближенно – 360 дней (обыкновенные проценты). Количество дней в каждом целом месяце в течение срока долга также может браться точно или приближено (30 дней). В мировой банковской практике использование приближенного количества дней в каждом целом месяце и обыкновенных процентов называется “ германской практикой ”, точного числа дней в каждом месяце и обыкновенных процентов – “ французской практикой ”, точного числа дней в каждом месяце и точных процентов – “ английской практикой ”. В зависимости от использования конкретной практики начисления процентов их сумма будет различаться.

Пример 2.Вклад 2000 руб. был положен в банк 12 марта 2004 г. и востребован 25 декабря того же года. Ставка процентов составляла 8 % годовых. Определить сумму начисленных процентов при различной практике их начисления.

Решение

1. При германской практике расчетное количество дней для начисления процентов равно: [ 20 (март) + 30 (апрель) +30 (май) + 30 (июнь) + 30 (июль) + 30 (август) + 30 (сентябрь) + 30 (октябрь) + 30 (ноябрь) + 25 (декабрь) – 1 (день выдачи денег в долг и день их возвращения считаются за один день) ] = 284 дня

Ссумма начисленных процентов составит:

I = ∙ 0,08 ∙ 2000 = 126,2 руб.

2. При французской практике расчетное количество дней для начисления процентов равно: [20+30+31+30+31+31+30+31+30+25-1]=288 дней.

Сумма начисленных процентов будет равна:

I = ∙ 0,08 ∙ 2000 = 128,0 руб.

3. При английской практике сумма начисленных процентов составит:

I = ∙ 0,08 ∙ 2000 = 125,9 руб.

Для расчета процентов может быть использована методика расчета с вычислением процентных чисел. При этом каждый раз, когда сумма на счете изменяется, производится расчет процентного числа за прошедший период, в течение которого сумма на счете оставалась неизменной, по выражению:

Процентное число = Сумма х Длительность периода в днях

Для определения суммы процентов за срок их начисления все процентные числа складываются, и их сумма делится на постоянный делитель, равный:

Постоянный делитель = Количество дней в году

Годовая ставка процентов

Обратите внимание, что готовая ставка процентов при этом берется по своей абсолютной величине.

Пример 3. При открытии сберегательного счета по ставке 12% годовых 20 мая 2004 г. на счет была положена сумма 10 тыс. руб. Затем 5 июля на счет была добавлена сумма 5 тыс. руб., 10 сентября со счета бала снята сумма 7.5 тыс. руб., а 20 ноября счет был закрыт. Используя процентные числа, определить сумму начисленных процентов.

Решение

Будем считать, что начисление процентов проводилось по германской практике. В этом случае срок хранения суммы 10 тыс. руб. составил 46 дней, суммы 15 тыс. руб. – 66 дней, суммы 7.5 тыс. руб. – 70 дней.

Сумма процентных чисел будет равна:

Постоянный делитель равен:

360: 12 = 30

Следовательно, сумма начисленных процентов будет равна:

19750: 30 = 658,3 руб.

Обратите внимание, что такая методика по своей сути является последовательным применением формулы процентных денег на каждом интервале постоянства суммы на счете. В рассматриваемом случае:

I = I₁ + I₂ + I3 = руб

Если ставка процентов в течение срока долга будет изменяться, наращенная сумма будет равна:

S = P ∙ (1 + n₁i₁ + n₂i₂ +...+ n_Ni_N), где

N – количество периодов начисления;

n_t (t = 1, 2..., N) – длительность t -го периода начисления;

i_t (t = 1, 2,..., N) – простая ставка процентов на t-м периоде начисления.

Пример 4.Вклад 20 тыс. руб. был положен в банк 25 мая 2004 г. по ставке 9% годовых. С 1 июля банк снизил ставку по вкладам до 3 % годовых, 15 июля вклад был востребован. Определить сумму начисленных процентов при английской практике их начисления.

Решение

Количество дней для начисления процентов по ставке 9 % годовых равно 37, по ставке 3% годовых – 14 дням.

Сумма начисленных процентов будет равна:

I = 20000 · руб.

Используя формулу для наращенной суммы можно определить:

а) срок долга

в годах

n =

или в днях

t =

б) ставку процентов

i =

в) первоначальную сумму долга

P =

Последняя операция называется дисконтированием по простой ставке процентов. Термин «дисконтирование» в широком смысле означает определение значения стоимостной величины на некоторый момент времени, если задано ее значение в будущем. Дисконтирование позволяет учитывать в стоимостных расчетах фактор времени.

При проведении процентных расчетов может быть учтена инфляция – снижение покупательной способности денег. Инфляцию за некоторый период времени характеризуют ее уровнем, показывающим, во сколько раз выросли цены.

Уровень инфляции и индекс инфляции за один и тот же период связаны соотношениями:

H = (Ip –1) 100

I_p =

где Ip – индекс инфляции;(в коэффициентах)

H – уровень (темп) и инфляция (в %)

Если задан уровень инфляции за некоторый период (например, месяц), то индекс инфляции за срок, включающий несколько таких периодов (например, квартал, полугодие, год) определяется по формуле:

I = ^N

H – уровень инфляции за период;

N – количество таких периодов в течение рассматриваемого срока.

Пример 5. Определить ожидаемый годовой уровень инфляции при месячном уровне инфляции 1.6 и 1.2 %.

Решение

При месячном уровне инфляции 1.6 % индекс инфляции за год составит:

Ip = (1 + 0,016)12 = 1,21

Следовательно, ожидаемый годовой уровень инфляции будет равен:

H = (1,21 - 1)·100=21%

При месячном уровне инфляции 1.2 % индекс инфляции за год составит.

Ip = (1+0,012)12 =1,154

Годовой уровень инфляции будет равен:

H = (1,154-1)·100 =15,4 %

Инфляция будет влиять на реальную (с точки зрения покупательной способности) доходность вкладных и кредитных операций. Реальное значение суммы с начисленными процентами за некоторый срок, пересчитанное (приведенное) к моменту предоставления денег в долг, будет равно:

Где Ip - индекс инфляции за срок долга.

C - Наращенная сумма с учетом ее обесценения

При использовании простых ставок процентов и одном периоде их начисления:

C =

Пример 6. Банк принимает депозиты на полгода по ставке 9 % годовых. Определить реальные результаты вкладной операции для размера вклада 50 тыс. руб. при месячном уровне инфляции 1.8 %

Решение

Сумма влада с процентами будет равна:

S = 500008·(1+ 0,5·0,09)=52250 руб.

Индекс инфляции за срок хранения депозита составит:

Ip = (1 + 0,018)⁶ = 1,113

Следовательно сумма вклада сначисленными процентами по своей покупательной способности с учетом инфляции будет соответствовать, сумме:

руб.

При выдаче кредитов уровень инфляции может быть учтен при определении ставки процентов по кредиту (брутто-ставки r). Общая формула для определения простой ставки процентов по кредиту, компенсирующей ожидаемую инфляцию, при одном периоде начисления имеет вид:

где r - брутто-ставка;

Вопросы для самопроверки

1. В чем особенности начисления процентов при использовании простых ставок?

2. Условия применения простых процентов.

3. Как определяются наращенная сумма и коэффициент наращения при использовании простых процентов?

4. Зависит ли результат финансовой операции от выбранного способа начисления простых процентов?

5. Определение наращенной суммы при дискретно изменяющихся во времени процентной ставки.

6. Что означает дисконтирование и для чего оно применяется?

7. Поясните различие в антисипативных и декурсивных процентах.

8. Укажите сущность величин, входящих в формулы для определения приведенной величины.

9. Что такое дисконт и как он определяется?

10. В чем сущность операции учета векселя?