Стационарные случайные процессы. Теорема о спектральном представлении

Важный класс случайных процессов образуют стационарные процессы. Так назы­вают процессы, теоретико-вероятностные характеристики которых не меняются во времени. Можно еще сказать, что стационарные процессы - это процессы, проте­кающие в не изменяющихся со временем условиях. Случайный комплекснозначный процесс называют процессом ста­ционарным в широком смысле, если: , где R(t) - непрерывная функция. Функцию R(t) называют корреляционная функ­ция процесса . Пусть R(n) — ковариационная функция стационарной в широком смысле случай­ной последовательности с нулевым средним. Тогда на интервале найдется такая конечная мера F, что для любого целого n . Мера F называется спектральной мерой, а соответствующая “функция распределения” — спектральной функцией стационарной последовательности с ковариационной функцией R(n). Если имеет производную , то эта производная называется спектральной плотностью. Верно и обратное утверждение: спектральная мера F однозначно определяется по ковариационной функции. Очевидно, что случайная последовательность, полученная из некоторой стационарной последовательности с помощью линейного преобразования, тоже является стационарной. Частный класс таких линейных преобразований задается с помощью так называемых линейных фильтров. Предположим, что в момент времени m на вход некоторой системы (фильтр) подается сигнал , при этом реакция системы на этот сигнал такова, что на ее выходе в момент времени n получается сигнал , где h(s), s - целое, некоторая комплекснозначная функция, называется импульсной переходной функцией фильтра или импульсным откликом. Таким образом, суммарный сигнал на выходе системы представляется в виде . Для физически осуществимых систем значение выходного сигнала в момент времени n определяется лишь прошлыми значениями входного сигнала, т.е. значениями при . Естественно, поэтому фильтр с импульсной переходной функцией h(s) назвать физически осуществимым, если h(s)=0 при всех s w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>"> , т. е. . Важной спектральной характеристикой фильтра с импульсной переходной функцией h является ее преобразование Фурье r w:top="850" w:right="850" w:bottom="850" w:left="1417" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>"> , называемое частотной характеристикой фильтра, или переходной функцией. Предположим теперь, что на вход фильтра подается стационарная случайная последовательность с ковариационной функцией R(n). Тогда, если , то ряд сходится в среднеквадратическом смысле и, следовательно, определена стационарная последовательность с . В спектральных терминах условие сходимости ряда эквивалентно тому, что и ковариационная функция последовательности определяется формулой . В частности, если на вход фильтра с частотной характеристикой подается белый шум, то на его выходе будет получаться стационарная последовательность скользящего среднего со спектральной плотностью . В определенном смысле, всякая стационарная последовательность со спектральной плотностью есть последовательность, полученная с помощью скользящего среднего, а именно, справедлива теорема. Пусть - стационарная последовательность со спектральной плотностью . Тогда можно найти такую последовательность , являющуюся белым шумом, и такой фильтр, что справедливо представление . Если спектральная плотность и , где , то последовательность допускает представление в виде одностороннего скользящего среднего . В частности, если - полином, не имеющий корней на единичной окружности в комплексной плоскости, то последовательность со спектральной плотностью представлена в виде . Для не слишком малых M является функцией, грубо говоря сосредоточенной вблизи частот . Общий эффект действия такого фильтра состоит в сглаживании функций, к которым применяется. Спектральное представление возможно и для непрерывных процессов, однако спектральная функция определяется на всей прямой. Корреляционная функция стационарного непрерывного случайного процесса R(t) может быть представлена в виде . Линейный фильтр, преобразующий стационарный процесс в процесс , записывается как стохастический интеграл Стилтьеса . w(t) будем по-прежнему называть функцией импульсного отклика. Тогда передаточная функция такого фильтра . Для физически определенного фильтра, т.е. при , передаточной функцией иногда называют преобразование Лапласа .