Геометрична інтерпретація

Якщо розглядати як координати точки декартової площини , то розв’язку диференціального рівняння (1.3)

, чи , або

буде відповідати деяка крива цієї площини. Вона носить назву інтегральної кривої цього рівняння.

Припустимо, що функція в диференціальному рівнянні (1.3) визначена і скінченна в кожній точці області цієї площини.

Розглянемо точку цієї області . Проведемо через неї пряму з кутовим коефіцієнтом рівним значенню функції в точці :

З одного боку, виходячи із геометричного змісту першої похідної дорівнює першій похідній функції в точці :

.

З іншого боку, із рівняння (1.3)

.

Таким чином, направлення дотичної в кожній точці інтегральної кривої збігається із значенням в цій точці. Ця властивість і виділяє інтегральні криві серед усіх інших.

Ми розглядали різні подання розв’язків, їх геометричну інтерпретацію, але не питання існування цих розв’язків.

Відповідь на питання щодо існування та єдиності розв'язку рівняння (1.3) дає теорема Коші:

якщо функція визначена і неперервна в точці та околі цієї точки, то існує розв’язок рівняння (1.3) такий, що

Якщо неперервна також частинна похідна , то цейрозв’язок єдиний.

Якщо необхідно знайти розв’язок диференціального рівняння (1.3) такий, що , де – задані числа, які називаються початковими даними, то говорять що необхідно розв’язати задачу Коші. З геометричної точки зору, серед усіх інтегральних кривих даного диференціального рівняння необхідно знайти ту, яка проходить саме через задану точку .

Довільне диференціальне рівняння (1.3) в області, в якій виконується теорема Коші має нескінченну множину розв’язків. Для подання цієї множини вводиться поняття загального розв’язку (інтегралу) диференціального рівняння.

Загальним розв’язком диференціального рівняння (1.3) (або(1.1)) називається функція , яка задовольняє умови:

1. Функція є розв’язком (1.3) при довільному фіксованому .