Числа (2.5) називаються початковими даними, а умови (2.6) – початковими умовами

Якщо необхідно знайти розв’язок рівняння (2.1) чи (2.2), що задовольняє умови (2.6), то говорять, що треба розв’язати задачу Коші.

Будь-яке рівняння (2.2) в області, в якій виконується теорема Коші, має нескінченну множину розв’язків.

Загальним розв’язком диференціального рівняння (2.2)
(або (2.1)) називається функція вигляду

, (2.7)

де , – довільні сталі, яка вдовольняє дві умови:

1. Функція (2.7) є розв’язком диференціального рівняння при довільних фіксованих значеннях .

2. Для довільних початкових даних (2.5), при яких диференціальне рівняння має розв’язок, можна визначити значення сталих такі, за яких будуть виконуватися початкові умови

Розв’язок диференціального рівняння, який отримуємо із загального розв’язку (2.7) при фіксованих значеннях сталих , називається частинним розв’язком.

Якщо (2.7) записати у вигляді

, (2.8)

то отримаємо загальний інтеграл диференціального рівняння.

Наведемо кілька окремих випадків, коли диференціальне рівняння (2.1) або (2.2) можна проінтегрувати в елементарних функціях.

Рівняння, які допускають зниження порядку

Диференціальне рівняння виду

(2.9)

тут визначена і неперервна при відома функція вдається розв’язати шляхом послідовного інтегрування:

і т.д.

Приклад 1

Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

.

Це диференціальне рівняння четвертого порядку типу (2.9). Щоб знайти його загальний розв’язок послідовно чотири рази інтегруємо:

Таким чином, отримали загальний розв’язок рівняння

,

де

Якщо рівняння (2.1) явно не містить змінної y, тобто якщо маємо

, (2.10)

то заміна змінної

(2.11)

дозволяє знизити порядок рівняння на одиницю.

Приклад 2

Знайти загальний розв’язок (загальний інтеграл) диференціального рівняння

.

Це рівняння другого порядку типу (2.10).

Отже, виконуємо заміну (2.11)

.

Маємо

.

Одержали рівняння вже першого порядку, однорідне
(типу (1.28)).

Виконуючи заміну

.

Приходимо до рівняння з відокремлюваними змінними

.

Розділяємо змінні:

, за умови .

Одержали диференціальне рівняння з відокремленими змінними.

Інтегруємо його

,

,

Згадаємо, що , тобто

Знайдемо окремо (інтегруючи частинами)

Отже, загальний розв’язок вихідного диференціального рівняння має вигляд

,

тут – довільні дійсні сталі.

Якщо диференціальне рівняння (2.1) явно не містить функцію та перших її похідних, тобто

, (2.12)

то заміна змінної

(2.13)

дозволяє знизити порядок диференціального рівняння на .

Приклад 3

Знайти загальний розв’язок (загальний інтеграл) диференціального рівняння

це диференціальне рівняння третього порядку типу (2.12). Виконуємо заміну (2.13), а саме

,

тоді

– диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними

за умови

– це диференціальне рівняння типу (2.9),

необхідно двічі його проінтегрувати

.

Отже,

. (*)

Знайдемо окремо (інтегруючи частинами)

.

Підставляємо знайдений інтеграл у (*) одержимо

, або

– загальний розв’язок вихідного диференціального рівняння, тут – довільні сталі.

Якщо рівняння (2.1) явно не містить змінної x, тобто має вигляд

, (2.14)

то заміна

(2.15)

дозволяє знизити порядок рівняння на одиницю.

Приклад 4

Знайти загальний розв’язок (загальний інтеграл) диференціального рівняння

.

Маємо диференціальне рівняння другого порядку типу (2.14).

Заміна дозволяє знизити порядок на одиницю:

.

Це диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними. За умови , , та розділяємо змінні:

.

Одержали диференціальне рівняння з відокремленими змінними.

Інтегруємо його

,

Оскільки , то

за умови .

, це диференціальне рівняння з відокремленими змінними.

Інтегруємо його

– загальний розв’язок вихідного диференціального рівняння.

Лінійне неоднорідне диференціальне рівняння
– го порядку із сталими коефіцієнтами

Диференціальне рівняння виду

(2.16)

за умови, що дійсні числа, а функція – визначена і неперервна при , причому

(2.17)

називається лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням - го порядку із сталими коефіцієнтами.

Якщо

, (2.18)

то диференціальне рівняння (2.16) називається лінійним однорідним диференціального рівняння -го порядку із сталими коефіцієнтами.

Для короткого і зручного запису введемо у розгляд лінійний диференціальний оператор

(2.19)

тоді

. (2.20)