Основы Z-преобразования

Как было показано ИЭ может быть описан в форме дискретного преобразования Лапласа:

Однако для расчета конкретного значения коэффициентов по указанной формуле, надо вычислять трансцендентные функции.

Трансцендентные числа – числа, которые не могут быть корнями алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами (вещественные – не трансцендентные).

e =2,71; π=3,14; x – e =0, x = e.

Точность, с которой мы учитываем данные числа, влияет на преобразование Лапласа.

Чтобы уйти от трансцендентности, от дискретного преобразования Лапласа, переходят к Z -преобразованию, для чего вводят новую переменную:

z=e^Ts, где s =σ+ j ω – комплексная переменная, T – период прерываний (дискретности).

Простое Z -преобразование для простых решетчатых функций (РФ):

Модифицированное Z -преобразование для смещенных РФ с аргументом (nT +ε T):

Примеры: Вычислить Z -преобразования для типовых сигналов.

1) Единичный ступенчатый входной сигнал x (t)=1(t).

x (nT)=1, 1, 1, …

x (nT +ε T)=1, 1, 1, …

Рассмотрим сначала модифицированное Z -преобразование, а затем положим ε=0 и получим простое Z -преобразование.

Геометрическая прогрессия:

если

Пусть | z |<1, тогда предыдущая формула:

Для простого Z -преобразования результат тот же:

2) Линейно-растущий входной сигнал x (t)= t.

Рассмотрим модифицированное Z -преобразование:

Тогда:

Простое Z -преобразование (ε=0):

3) Экспоненциальный входной сигнал:

Апериодическая ПХ 1-го порядка

Пусть ,

Рассмотрим модифицированное Z -преобразование:

Тогда

Обозначим e^–aT = d, тогда

Простое Z-преобразование:

Таблица преобразований