Число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул

До сих пор мы предполагали, что молекулы газа – материальные точки, т.е. имеют исчезающее малые размеры. Это позволило не учитывать соударения между хаотически движущимися молекулами. В действительности молекулы имеют конечные размеры и непрерывно соударяются друг с другом. Между двумя последовательными столкновениями молекулы движутся прямолинейно и равномерно, проходя при этом расстояния l, называемые длинами свободных пробегов. Так как эти расстояния могут быть самыми разными, вводится понятие средней длины свободного пробега .

Чтобы найти , будем считать, что молекулы газа представляют собой шарики некоторого диаметра d. Под d понимают то наименьшее расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, - эффективный диаметр молекулы (рис. 7.11).

Площадь круга диаметром d s = p d ² называется эффективным сечением молекулы.

Средний путь, проходимый молекулой за единицу времени, численно равен - средней скорости ее движения.

Если среднее число столкновений, испытываемых молекулой за единицу времени, обозначить через , то средняя длина свободного пробега записывается в виде

. (7.28)

Подсчитаем в предположении, что молекулы - упругие шарики диаметром d; все молекулы, кроме рассматриваемой нами, неподвижны. Вследствие непрерывных столкновений молекула движется по некоторой ломаной линии, при этом за единицу времени она столкнется со всеми молекулами, лежащими внутри коленчатого цилиндра диаметром 2 d и длиной (рис. 7.12). Умножив объем этого цилиндра p d ² на концентрацию молекул n, найдем :

= p d ² n . (7.29)

Если учесть, что в движении участвуют все молекулы, то число столкновений определяется средней скоростью движения молекул по от- ношению друг к другу (относительной скоростью), и это приводит к увеличению числа столкновений в раз или

= p d ² n . (7.30)

Подставив (7.30) в (7.28), получим среднюю длину свободного пробега

(7.31)

или при определении через эффективное сечение молекул

. (7.32)

Так как , то формулу (7.31) можно записать в виде:

. (7.33)

При некотором давлении средняя длина свободного пробега может оказаться равной или даже больше линейных размеров сосуда. Такое состояние газа, при котором больше размеров сосуда или равна им, называется вакуумом. В состоянии вакуума между молекулами газа практически отсутствуют столкновения, хотя концентрация молекул при этом весьма значительна (при р = 10^-3 мм рт. ст. n @ 10¹⁹ м ^-3 ).