Закон Максвелла распределения молекул

идеального газа по скоростям и энергиям

При выводе основного уравнения МКТ молекулам задавали различные скорости. В результате многократных соударений скорость каждой молекулы изменяется по модулю и направлению. Однако из-за хаотического движения молекул все направления движения являются равновероятными, т.е. в любом направлении в среднем движется одинаковое количество молекул.

Согласно молекулярно-кинетической теории, как бы ни изменялись скорости молекул при столкновениях, средняя квадратичная скорость молекул газа массой М в газе, находящемся в состоянии равновесия при T = const, остается постоянной . Это объясняется тем, что в газе, находящимся в состоянии равновесия, устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям, подчиняющееся вполне определенному закону. Этот закон теоретически выведен Дж. Максвеллом.

Максвелл предполагал, что газ состоит из большого числа N тождественных молекул (они находятся в состоянии хаотического теплового движения при одинаковой температуре) и, что силовые поля на газ не действуют.

Закон Максвелла описывается некоторой функцией f (v), называемой функцией распределения молекул по скоростям. Если разбить диапазон скоростей молекул на малые интервалы, равные d v, то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекул d N (v), имеющих скорость, заключенную в этом интервале. Функция f (v) определяет относительное число молекул d N (v) /N, скорости которых лежат в интервале от v до v+ d v, т.е. , откуда .

Применяя методы теории вероятностей, Максвелл нашел функцию f (v) – закон для распределения молекул идеального газа по скоростям:

. (7.19)

Из (7.19) видно, что конкретный вид функции зависит от рода газа (масса молекулы) и от параметра состояния (температура Т).

График функции (7.19) приведен на рис. 7.6. Так как при возрастании

скорости v множитель уменьшается быстрее, чем растет множитель v ², то функция f (v), начинаясь с нуля, достигает максимума при наиболее вероятной скорости v _в и затем асимптотически стремится к нулю. Кривая несимметрична относительно v _в.

Относительное число молекул d N (v) /N, скорости которых лежат в интервале от v до v+ d v, находится как площадь полоски на рис 7.6. Площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Это означает, что функция f (v) удовлетворяет условию нормировки

.

Скорость, при которой функция распределения молекул идеального газа по скоростям максимальна, называется наиболее вероятной скоростью v _в. Значение наиболее вероятной скорости можно найти, продифференцировав выражение (7.19) (постоянные множители опускаем) по аргументу v, приравняв результат к нулю и использовав условие для максимума выражения f (v):

.

Значения v = 0 и v = ¥ соответствуют минимумам выражения (7.19), значение v, при котором выражение в скобках становится равным нулю, и есть искомая наиболее вероятная скорость v _в:

. (7.20)

Из формулы (7.20) следует, что при повышении температуры максимум функции распределения молекул по скоростям (рис 7.7) смещается вправо (значение наиболее вероятной скорости становится больше). Однако пло­щадь, ограниченная кривой, остается неизменной, поэтому при повышении температуры кривая распределения молекул по скоростям будет растягиваться и понижаться.

Средняя скорость молекулы (средняя арифметическая скорость) определяется по формуле

Подставляя в последнее выражение f (v) и интегрируя его, получим

(7.21)

Скорости, характеризующие состояние газа (см. рис. 7. 6):

1) наиболее вероятная ;

2) средняя

3) средняя квадратичная

Исходя из распределения молекул по скоростям

, (7.22)

можно найти распределение молекул газа по значениям кинетической энергии e. Для этого перейдем от переменной v к переменной e = m v ² / 2. Подставив в уравнение (7.22) и , получим

,

где d N (e) – число молекул, имеющих кинетическую энергию поступательного движения, заключенную в интервале от e до e+de.

Таким образом, функция распределения молекул по энергиям теплового движения

Средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа

.