Барометрическая формула. Распределение Больцмана

При выводе закона Максвелла для распределения молекул идеального газа по скоростям мы предположили, что на молекулы газа внешние силы не действуют. Поэтому можно было считать, что молекулы равномерно распределены по объему сосуда; температура везде одинакова.

На самом деле молекулы газа всегда находятся в поле тяготения Земли. Если бы не было теплового движения, то все молекулы атмосферного воздуха упали бы на Землю; если бы не было тяготения, то атмосферный воздух рассеялся бы по всей Вселенной. Тяготение и тепловое движение приводят газ в состояние, при котором его концентрация и давление убывают с высотой.

Получим закон изменения давления с высотой. Пусть идеальный газ находится в равновесном состоянии в однородном поле тяготения Земли. Давление газа на высоте h обусловлено весом вышележащих слоев. Обозначим р давление на высоте h, тогда давление на высоте h + d h равно р+ d p, причем если d h >0, то d p <0, так как вес вышележащих слоев атмосферы, а следовательно, и давление с высотой убывают. Разность давлений р и p+ d p равна весу газа, заключенному в объеме цилиндра с площадью основания, равной единице, и высотой d h (рис. 7.9.)

p – (p + d p) = r g d h,

где r - плотность газа на высоте h. Отсюда

d p = – r g d h. (7.23)

Из уравнения состояния идеального газа можно выразить плотность газа:

. (7.24)

Подставив (7.24) в (7.23), получим приращение давления

.

Полагая T = const и интегрируя приращение давления по высоте от 0 до h, получим

или , (7.25)

где р и р ₀ – давления газа на высотах h и h = 0.

Формула (7.25) называется барометрической. Из нее следует, что давление убывает с высотой по экспоненциальному закону (рис.7.10).

Барометрическая формула позволяет определять высоту h с помощью барометра. Барометр, специально проградуированный, для непосредственного отсчета высоты над уровнем моря называют альтиметром. Его широко применяют в авиации, при восхождении на горы.

Преобразуя в выражении (7.25) показатель степени

,

получаем

, (7.26)

где mgh = e_п – потенциальная энергия молекулы на высоте h.

От барометрической формулы вида (7.26) легко перейти к закону изменения с высотой числа молекул в единице объема (концентрации молекул). Для этого воспользуемся связью давления и концентрации (7.13).

р = nkT,р ₀ = n ₀ kT.

Подставляя р и р ₀ в (7.26), получим

, (7.27)

где n и n ₀ – концентрации молекул на высотах h ¹ 0 и h = 0 соответственно.

Больцман показал, что распределение (7.27) справедливо не только в потенциальном поле сил земного тяготения, но и в любом потенциальном поле сил для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения. Поэтому распределение (7.27) называют законом Больцмана.

С одной стороны, чем выше температура, тем эффективнее действие теплового движения. В пределе Т ®¥, n ® n ₀, т.е. тепловое движение стремится разбросать частицы равномерно по всему объему. С другой стороны, под действием сил поля частицы стремятся расположиться там, где их потенциальная энергия минимальна. В пределе при Т ®0 (отсутствие теплового движения) n ®0, т.е. все частицы занимали бы состояние с минимальной (нулевой) потенциальной энергией (в случае поля тяготения Земли молекулы собирались бы на поверхности Земли).