Парадоксы голосования

Часто возникают коллизии из-за субъективной неразличимости вариантов выбора. Разработаны различные способы, помогающие решить проблему. Приведем пример.

Пусть два эксперта дали противоположные предпочтения между вариантами выбора а и b. Попробуем сделать выбор, сравнивая силу предпочтения экспертов. Это часто делается в криминалистической практике. Двум экспертам предлагается в одном ряду с а и b упорядочить по предпочтению еще несколько альтернатив, например, c, d, e.

Пусть первый эксперт дал следующее упорядочение (c, d, a, b, e), а второй (b, c, d, e, a). Ясно, что первый эксперт больше сомневается в своем выборе, чем второй. Поэтому целесообразно принять результат сравнения второго.

Наиболее интересный результат, касающийся методов голосования заключается в парадоксе Эрроу. Им доказана так называемая теорема о невозможности.

Суть теоремы состоит в следующем:

Пусть существует n индивидуальных предпочтений R₁,R₂,…,R_i,…,R_n. Необходимо найти функцию F,

P=F(R₁,R₂,…,R_i,…,R_n),

которая бы «справедливо» согласовывала эти предпочтения.

Сформируем ряд «очевидных» свойств (аксиом), которым должна соответствовать функция F:

1. n 2, где n - число голосующих;

N 3, где N - число альтернатив;

функция F определена на любых индивидуальных наборах.

2. Если в результате группового выбора предпочтение было дано альтернативе x, то это решение не должно измениться, если кто-либо из голосующих, ранее отвергнувший альтернативу x, изменил свое предпочтение в пользу x, Это– условие монотонности. Это можно записать так:

3. Если изменение индивидуальных предпочтений не коснулось определенных альтернатив, то в новом групповом упорядочении взаимный порядок этих альтернатив не должен меняться (условие независимости несвязанных альтернатив).

4. Условие суверенности. Для любой упорядоченной пары альтернатив x и y существует такой набор индивидуальных предпочтений для которого:

5. Отсутствие диктатора:

Парадокс Эрроу состоит в том, что первые четыре свойства несовместимы с пятым. Можно придумать такую функцию F, что она будет удовлетворять первым четырем свойствам, но не будет удовлетворять пятому. Это говорит о противоречивости всей конструкции, хотя на первый взгляд она безупречна. Причина неприятности состоит в 3 свойстве.

Другой пример. Нарушение транзитивности и его следствие.

Пусть каждый из n субъектов имеет свою долю a_i из общего ресурса:

Вектор с этими компонентами назовем состоянием системы.

Рассмотрим два произвольных состояния системы:

.

Будем говорить, что состояние не хуже для i- ого субъекта, если .

Будем проводить перераспределение ресурсов на основе очень сильного большинства - тотально – мажоративного: система перейдет из в , если не хуже для всех субъектов кроме одного.

Последовательность состояний называется тотально – мажоративной путем из в , если переходом в очередное состояние удовлетворены все субъекты, кроме того, чей ресурс в данный переход перераспределяется.

Теорема.

Для любых двух состояний и существует тотально – мажоративный путь из в .

Последний пример. Парадокс многоступенчатого выбора.

Такой способ выбора (двухступенчатый) применяется в США при выборе президента.

Рассмотрим трехуровневую схему выбора.

Пусть черные кружки – «красные», а белые – «белые». Они объединены в «округа» - овалы.

Нижний уровень на рисунке соответствует первой ступени выбора. Если ограничиться только ей без учета «округов», победят «белые» с разгромным счетом 19:8.

Будем, однако выбирать по округам, то на второй ступени получим счет скромнее - 5:4, но опять в пользу «белых». Но уже на третьей ступени счет 2:1 в пользу «красных». В результате президент «красный»,

Отбор

Отбор – это повторный выбор.

Возможны системы, в которых выбор повторяется многократно, причем каждый последующий выбор происходит в условиях, отличающихся от тех, в которых происходил предыдущий. Это придает процессу выбора динамику.

Рассмотрим модель отбора, предложенную профессором Ефимовым.

Предположим, что имеется некоторая совокупность элементов, выражающаяся некоторым критерием. Численное значение его x, причем . Тот элемент, который имеет большее значение x, будет считаться лучшим.

В исходной совокупности M, которую можно считать бесконечной,присутствуют элементы с любыми значениями x.

Допустим, что для достижения нашей цели требуется, чтобы показатель качества для элементов отобранной группы (элитной) был не ниже некоторого значения a (a<1).

Количество элементов в элитной группе Э ограничено: |Э|=n

Предположим, что процедура отбора иногда дает сбой, так что в элитную группу с небольшой вероятностью β попадают «сорные» элементы, для которых x<a.

Если элемент для отбора выбирается случайно, то можно говорить о F(x) – функции распределения качества x в исходной группе и о f(x) – соответствующей плотности вероятности.

Тогда плотность распределения качества x в элитной группы будет выглядеть так:

Очевидно, что среднее значение качества в Э зависит от β и F(a).

Так как обычно вероятность β достаточно мала, а F(а) достаточно велика, то >> . При β= F(а), то есть если вероятность сбоя велика, то среднее качество по элите не отличается от среднего по исходному множеству .

Если по ряду причин (старения, разрушения, отчисления) какие-то элементы выбывают из элитной группы, а численность ее требуется сохранить, то возникает задача повторного выбора новых элементов из основной совокупности на вакантные места в состав элитной группы. При этом, естественно, расположение критической величины x внутри элитной группы может измениться. Характер изменения этого распределения будет зависеть от ряда факторов:

от изменения качества x каждого элемента со временем, как в элитной группе, так и в основной совокупности;

от правил отсева из элитной группы (происходят такие случаи с учетом или без учета величины x, лучшие или худшие элементы);

от правила включения новых элементов (в соответствии с прежним эталоном или с измененным эталоном);

от временных соотношений между моментами очередных пополнений элитной группы (это важно, если x во времени меняется);

Различное сочетание этих условий приводит к возникновению большого количества задач с различным типом эволюции элитной группы.

Рассмотрим некоторые процедуры пополнения группы и выхода из нее.

1. Процедура «претендент – рекомендатель».

Правило состоит в том, что при наличие вакансии в элите наугад из общей совокупности выбирается элемент («претендент»), который сравнивается с наугад взятым из элиты элементом («рекомендателем»). Если значения x у претендента не меньше значения y рекомендателя, то претендент включается в элиту, иначе процедура повторяется. В этом случае направление изменения качества в элитной группе определяется тем, какие элементы (лучше или худшие) дольше существуют в элитной группе.

2. Процедура «Прополка».

Правило прополки состоит в удалении из элитной группы m наихудших элементов и замена их тоже m, но наугад взятых из основной группы. Процедура прополки является обратной процедуре снятия урожая.

3. Процедура снятия урожая.

Правило прополки состоит в удалении из элитной группы m наилучших элементов и замена их тоже m наугад взятых из основной группы.

4. Процедура д елегирования.

Эта процедура предполагает активность, внешнюю по отношению к элите. Она состоит в следующем:

из исходной совокупности случайно выбирается N элементов (делегирующая выборка);

делегирующую выборку упорядочивают по величине x;

элемент с наибольшим рангом зачисляют в формируемую элитную группу.

Эту процедуру можно использовать при исходном формировании элитной группы, операцию при этом надо провести N раз.

Доказано, что наилучший результат получается, если

.