Классификация функций выбора

Непосредственное задание функции выбора осуществляется в виде таблицы, в которой каждому допустимому предъявлению X сопоставляется выбор . К такому заданию приходится прибегать в том случае, когда механизм которой неизвестен.

Для автоматизации интеллектуальных решений в определенной области создаются экспертные системы, основой которых являются так называемые базы знаний (БЗ).

Понятие БЗ до сих пор четко не определено и в разных работах истолковывается по-своему. Под БЗ следует понимать частичную функцию выбора, отражающую опыт эксперта и механизм наполняющий ее. В качестве такого механизма наполнения может быть применена, например, некоторая интерактивная система, позволяющая по подходящему аксиоматическому определению выбора и известной частичной функции выбора восстановить ее значение на заданном предъявлении.

К табличному описанию функции выбора прибегают тогда, когда нет компактной записи механизма. Компактная запись функции выбора возможна в двух случаях:

1. когда известен механизм выбора,

2. когда известен набор условий, определяющих «рациональный» выбор..

В первом случае говорят о поэлементном, во втором – о целостном описании функции выбора.

Классы функций выбора:

Обозначим через множество возможных функций выбора, выделяя два подмножества:

₀ – функция не пустого выбора ();

₁ – множество единичного, одноэлементного выбора ().

1 Теорема Сена

Бинарное отношение R порождает функцию выбора, принадлежащую подклассу ₀ в том случае когда отношение R рассматривается как отношение блокировки.

2 Теорема Сена

Бинарное отношение R порождает однозначную функцию выбора подкласса, ₁ тоже рассматривается как отношение блокировки C^R тогда и только тогда, когда R не только симметрично, но и ациклично.

Аксиомы функции выбора ( Айзерман – Малишевский)

1 аксиома. Аксиома наследования (Н).

2 аксиома. Аксиома согласия (С).

«Согласия» - потому, что выбор по подмножеству должен быть согласован с выбором по всему множеству.

3 аксиома. Аксиома отбрасывания (О).

4 аксиома. Аксиома константности (К). (Усиленная аксиома Н)

Другие аксиомы

Аксиома Плотта.

Аксиома сумматорности.

Аксиома мультиплексивности.

Свойство монотонности.

Возвратимся к аксиомам Н, С, О. Каждая из этих аксиом в каждом из классов «вырезает» соответствующие подклассы.

Σ: Н,С,О Σ₀: Н₀,С₀,О₀ Σ₁: Н₁,С₁,О₁

Теорема о независимости в совокупности аксиом Н, С, О.

Введем классы , тогда каждый из следующих восьми классов не пусты:

1 класс.

2 класс.

8 класс.

Теорема о константности.

Теорема о множестве Σ₁.

В подмножестве Σ₁: Н₁=О₁=К₁