Пример Цоя

Несмотря на то, что аксиомы Н, О, С, К кажутся естественными для любого выбора, можно построить относительно простой пример функции выбора, которая не удовлетворяет ни одной из этих аксиом.

Рассмотрим функцию выбора заданную на всевозможных множествах на плоскости.

В любой плоской фигуре ищем центры окружности, целиком лежащей внутри этой фигуры и имеющей максимальный радиус среди таких окружностей.

Покажем что каждая из аксиом Н, С, О, К не выполняется при этом выборе.

Покажем, что не выполняется аксиома Н.

Согласно аксиоме Н.

Очевидно, что

.

отрезок [A,B] не содержится в точке А.

Итак, аксиома Н не выполняется

Одновременно с этим, не выполняется и аксиома К.

Покажем, что не выполняется аксиома О. Для этого, в качестве X возьмем тот же прямоугольник, а Y поднимем вверх.

C(X)=CD

C(Y)=E

Очевидно, , но , что противоречит аксиоме О.

Покажем, что не выполняется аксиома С.

Заштрихованная область - Y=X/S;

. Поэтому .

Что и требовалось доказать

Еще две теоремы Сена. Теперь они связывают аксиомы с бинарными отношениями.

3 Теорема Сена.

Для того чтобы функция выбора порождалась качественным порядком, необходимо и достаточно, чтобы она принадлежала классам Н, С, О.

4 Теорема Сена.

Для того чтобы функция выбора порождалась слабым порядком, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла аксиома константности..

Индикаторы (функция полезности)

Функцией полезности или индикатором строгого отношения P заданного на множестве G называют функцию , такую что

. (1)

Таким образом, эта функция оцифровывает порядковую шкалу.

Часто используют другое, более жесткое определение полезности:

. (2)

Основные результаты связи индикаторов и бинарных отношений:

1. Бинарное отношение P может быть представлено в виде (2) в том случае если P – слабый порядок. При этом постоянна на классах безразличия, т.е.

.

2. Бинарное отношение P не обладает функцией полезности вида (2), если оно или определяемое им отношение безразличия , не является транзитивным.

Нарушение транзитивности отношения безразличия при выборе вариантов решения не редкое явление, наблюдаемое в поведении людей. Оно обычно объясняется наличием порога чувствительности у эксперта, которое не позволяет ему различать альтернативы близкие между собой в некотором смысле. В этом случае изучается бинарное отношение представления в виде:

,

где - пороговая функция, - функция полезности;

.

3. Каждому качественному порядку P можно сопоставить набор скалярных функций:

это есть паретовский выбор.

Все приведенные результаты нами не доказаны, но главное то, что в этих результатах нет алгоритма построения индикаторов.