Ряди Фур’є

Розглянемо функцію f (r) радіус-вектора r (5.1) точки кристалу. Нехай f (r) задовольняє циклічним граничним умовам (8.1). Покажемо, що таку функцію можна зобразити у вигляді ряду Фур’є:

, (9.1)

коефіцієнти якого даються виразом

, (9.2)

де d ³ r – елемент об’єму кристалу.

Покажемо, що ряд (9.1) існує, якщо виконується умова ортонормованості

. (9.3)

Для нескінченого кристалу умова (9.3) випливає з властивостей власних функцій самоспряженого оператора імпульсу.

Для обмеженого кристалу виконання умови (9.3) показується безпосереднім розрахунком. Будемо вважати, що умова (9.3) виконується. Доведемо, що ряд (9.1) існує. Для цього домножимо ліву і праву частини рівності (9.1) на функцію

і проінтегруємо по об’єму кристалу. В результаті маємо

. (9.4)

Підставляючи у (9.4) умову ортонормованості (9.3), прийдемо до рівності

. (9.5)

Опускаючи у виразі (9.5) штрих біля вектора k´, приходимо до виразу (9.2), що і треба було довести.

Покажемо тепер виконання умови (9.3) безпосереднім розрахунком.

. (9.6)

При одержанні (9.6) ми використали (5.1), (5.2), (5.4) і вираз для елемента об’єму

,

де Ω₀ дається формулою (5.7). Область інтегрування у правій частині рівності (9.6) зображена на рис.4.

Потрійний інтеграл у правій частині рівності (9.6) зводиться до добутку трьох однократних інтегралів типу

(9.7)

Інтеграл (9.7) розраховано для двох можливих випадків k ₁ = k ´₁ і k ₁ ≠ k ´₁. При розрахунку інтеграла для другого випадку використано (8.6).

Підставляючи (9.7) у (9.6), одержимо

,

тобто прийдемо до виразу (9.3).

Для періодичної функції виконується умова

, (9.8)

де l – вектор вузла прямої решітки (4.1).

Підставляючи (9.1) у (9.8), одержимо

. (9.9)

Прирівнюючи почленно суми у (9.9), бачимо, що рівність (9.9) виконується за умови

,

тобто якщо вектори k пробігають значення векторів вузлів оберненої решітки g (див. (7.7)). Покладаючи у (9.1) k = g, одержимо

, (9.10)

де

. (9.11)

Таким чином, функцію f (r), періодичну з періодом прямої решітки, можна розкласти в ряд Фур’є за векторами оберненої решітки [5].

Розглянемо функцію f _l вектора вузла прямої решітки l (4.1). Нехай f _l задовольняє циклічним граничним умовам (8.1). Покажемо, що таку функцію можна розкласти в ряд Фур’є:

, (9.12)

коефіцієнти якого даються виразом

, (k ÎЗБ), (9.13)

де підсумовування проводиться за всіма вузлами l прямої решітки кристалу.

Підсумовування у виразі (9.12) проводиться за хвильовими векторами k, що належать до зони Бріллюена.

Якби ряд (9.12) був нескінченний, то члени ряду, що відповідають хвильовим векторам k + g, які відрізняються на вектори оберненої решітки g від вектора k ÎЗБ, мали б вигляд

і їх можна було б об’єднати з членом ряду для вектора k ÎЗБ. В результаті ряд набув би вигляду (9.12).

Існування ряду (9.12) пов’язано з виконанням умови ортонормованості

, (k, k ´ÎЗБ). (9.14)

Будемо вважати, що умова (9.14) виконується. Доведемо, що ряд (9.12) існує. Для цього домножимо ліву і праву частини рівності (9.12) на

і підсумуємо по l. В результаті одержимо

. (9.15)

Підставляючи у (9.15) умову ортонормованості (9.14), прийдемо до рівності

, (k ´ÎЗБ). (9.16)

Опускаючи у (9.16) штрих біля вектора k ´, приходимо до виразу (9.13), що і треба було довести.

Покажемо тепер виконання умови (9.14) безпосереднім розрахунком.

. (9.17)

Межі підсумовування у правій частині рівності (9.17) показано на рис.8.1. Потрійна сума у правій частині (9.17) зводиться до добутку трьох однократних сум типу

, (9.18)

де h ₁Î Z – ціле число. Суму (9.18) розраховано для двох можливих випадків k ₁– k ₁´ = h ₁Î Z і k ₁– k ₁´≠ h ₁Î Z. У другому випадку суму (9.18) зводимо до суми геометричної прогресії і використовуємо (8.6). Підставляючи (9.18) у (9.17), в результаті одержимо

, (9.19)

де h ₁, h ₂, h ₃ Î Z – цілі числа.

Рівність (9.19) можна записати у вигляді

, (9.20)

де g – вектор вузла оберненої решітки. Якщо у виразі (9.20) вектори k, k ´ належать до зони Бріллюена (k, k ´ÎЗБ), то g = 0 і ми приходимо до виразу (9.14).

Розширимо область означення функції f _k (9.13) і запишемо

,

тобто

. (9.21)

Таким чином, функцію (9.21), періодичну в просторі оберненої решітки, можна розкласти в ряд Фур’є (9.13) за векторами l оберненої решітки.